LEMNISCATA
Matemàtiques, física, química…
Etiqueta: integrals
Etiqueta: integrals
PAU 2020 Sèrie 4 Qüestió 1
Siguin les funcions $f(x) = x^3$ i $g(x) = a \cdot x^2$, on $a$ és un nombre real positiu. a) Trobau, en funció del paràmetre $a$, els punts de tall entre les dues corbes $y = f(x)$ i $y = g(x)$, i feu un esbós de la regió limitada per
Read MoreJuny de 2014 – Sèrie 3 – Qüestió 4
Calculeu l’àrea de la regió del pla limitada en el primer quadrant per les gràfiques de les funcions $y=x^2$, $y=4x^2$ i $y=9$. La representació de l’àrea demanada és $x_1$ és l’abscissa del punt d’intersecció de les funcions $y=4x^2$ i $y=9$ $$\displaystyle \left.\begin{array}{r}y=4x^2\\y=9\end{array}\right\rbrace \Longrightarrow\left(\frac{3}{2},9\right) \Longrightarrow x_1=\frac{3}{2}$$ I $x_2$ és l’abscissa del punt d’intersecció de les funcions $y=x^2$ i $y=9$ $$\displaystyle \left.\begin{array}{r}y=x^2\\y=9\end{array}\right\rbrace \Longrightarrow\left(3,9\right) \Longrightarrow x_2=3$$
Read MoreJuny de 2014 – Sèrie 5 – Qüestió 4
Sabem que una funció $f$ té per derivada la funció $f'(x)=(3x-2)^2(x-2)$. a) Calculeu els valors de $x$ en què la funció f té un màxim relatiu, un mínim relatiu o un punt d’inflexió, i indiqueu en cada cas de què es tracta. b) Determineu la funció $f$ sabent que s’anul·la en el punt d’abscissa $x=2$. a) Calculeu els valors de $x$ en
Read MoreJuny de 2000 – Sèrie 1 – Qüestió 2
Calculeu l’àrea que té l’únic recinte tancat limitat per les gràfiques de les funcions $y=-x^2+7$ i $y=\displaystyle\frac{6}{x}$ representat en el dibuix següent: Primer hem de trobar els punts de tall de les dues funcions: $$\displaystyle\frac{6}{x}=-x^2+7 \Rightarrow x^3-7x+6=0$$ $$\begin{array}{r|rrrr} &1&0&-7&6 \\ 1&&1&1&-6 \\ \hline &1&1&-6&\color{grey}{0} \\ 2&&2&6& \\ \hline &1&3&\color{grey}{0} \\ -3&&3&& \\ \hline &1&\color{grey}{0}
Read MoreCàlcul àrees. Càlcul paràmetre coneguda àrea
Calcular el valor de $\alpha$, positiu, perquè l’àrea tancada entre la corba $y = \alpha x – x^2$ i l’eix d’abscisses sigui $36$. Representar la corba que s’obté per a aquest valor de $\alpha$. Per calcular el valor de $\alpha$, positiu, perquè l’àrea tancada entre la corba $y = \alpha
Read MoreExercici càlcul d’àrea
Sigui $f$ la funció definida per $f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 2x+4 & \text{si} & x<0 \\ (x-2)^2 & \text{ si} & x\geq 0 \end{array}\right.$ a) Calcula els punts de tall de la gràfica de $f$ amb l’eix d’abscisses i esbossa la gràfica de la funció. El primer tros de la funció és una
Read MoreCàlcul d’àrea. Problema 4
Considera les funcions $f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ i $g:\mathbb{R}-{0}\longrightarrow\mathbb{R}$ definides per $f(x)=5-x^2$ i $g (x)=\dfrac{4}{x^2}$. Esbossa les gràfiques de les dues funcions i calcula els punts de tall entre elles. $\boxed{f(x)=5-x^2}$ és una paràbola (funció quadràtica) $\boxed{g(x)=\dfrac{4}{x^2}}$ és una hipèrbola Punts de tall: $f(x)=g(x) \Rightarrow 5-x^2=\dfrac{4}{x^2} \Rightarrow 5x^2-x^4=4 \Rightarrow x^4-5x^2+4= 0$ equació biquadrada.
Read MoreCàlcul d’àrees
Donades les funcions $f(x)=2xe^{-x}$ i $g(x)=x^2e^{-x}$, calcula raonadament l’àrea del recinte tancat limitada per les gràfiques d’aquestes funcions. Per trobar l’àrea del recinte tancat limitat per les gràfiques de les funcions $f(x)$ i $g(x)$, hem de trobar els punts d’intersecció de les dues funcions. Aquests punts d’intersecció són les abscisses
Read MoreIntegrals irracionals
Calcula la integral $$\int\frac{x^2-3x+1}{x^3-5x^2+8x-4}dx$$ En aquest cas, és una integral racional. Factoritzarem el denominador i descompondrem la fracció en fraccions simples. Com$x^3-5x^2+8x-4=(x-1)(x-2)^2$ tenim: $$\frac{x^2-3x+1}{x^3-5x^2+8x-4}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{(x-2)^2}=$$$$=\frac{A(x-2)^2+B(x-1)(x-2)+C(x-1)}{(x-1)(x-2)^2}$$ Donem ara valors per a $x$ al numerador: $$\frac{x^2-3x+1}{x^3-5x^2+8x-4}=\frac{-1}{x-1}+\frac{2}{x-2}+\frac{-1}{(x-2)^2}$$D’aquesta manera: $$\int\frac{x^2-3x+1}{x^3-5x^2+8x-4}dx=\int\frac{-1}{x-1}dx+\int\frac{2}{x-2}dx+\int\frac{-1}{(x-2)^2}dx=$$$$=\boxed{-\ln(x-1)+2\ln(x-2)+\frac{1}{x-2}+C}$$
Read MoreCàlcul de l’àrea entre dues funcions
Calcula l’àrea compresa entre les funcions $f(x)=x^2$ i la funció $g(x)=x$. Primer ens caldrà trobar els punts de tall de les dues funcions. Ens caldrà resoldre l’equació: $$x^2=x \rightarrow x(x-1)=0\rightarrow x=0; x=1$$Fixeu-vos que podem interpretar l’àrea com la resta de dues integrals definides: $$A_{regió}=\left|\int_{0}^{1} x dx\right|-\left|\int_{0}^{1} x^2 dx\right|=\left|\left[\frac{x^2}{2}\right]{0}^{1}\right|-\left|\left[\frac{x^3}{3}\right]{0}^{1}\right|=\frac{1}{6}$$
Read More- 1
- 2