Càlcul àrees. Càlcul paràmetre coneguda àrea

Calcular el valor de $\alpha$, positiu, perquè l’àrea tancada entre la corba $y = \alpha x – x^2$ i l’eix d’abscisses sigui $36$. Representar la corba que s’obté per a aquest valor de $\alpha$.

Per calcular el valor de $\alpha$, positiu, perquè l’àrea tancada entre la corba $y = \alpha x – x^2 ) i l’eix d’abscisses sigui 36, seguirem els passos següents:

1. Trobar els punts de tall amb l’eix d’abscisses
Els punts de tall amb l’eix d’abscisses es troben resolent $y = 0$, és a dir:
$$\alpha x – x^2 = 0 \implies x(\alpha – x) = 0.$$
Per tant, els punts de tall són $x = 0$ i $x = \alpha$.

2. Expressar l’àrea en funció de $\alpha$
L’àrea tancada entre la corba i l’eix d’abscisses ve donada per la integral definida:
$$A = \int_0^\alpha (\alpha x – x^2) \, dx.$$
Resolem aquesta integral:
$$\int (\alpha x – x^2) \, dx = \left[ \frac{\alpha x^2}{2} – \frac{x^3}{3} \right]_0^\alpha = \frac{\alpha^3}{2} – \frac{\alpha^3}{3}.$$
Simplificant:
$$A = \frac{\alpha^3}{2} – \frac{\alpha^3}{3} = \frac{3\alpha^3 – 2\alpha^3}{6} = \frac{\alpha^3}{6}.$$

3. Imposar la condició d’àrea
Es diu que l’àrea ha de ser $36$, així que:
$$\frac{\alpha^3}{6} = 36.$$
Multiplicant per $6$:
$$\alpha^3 = 216.$$
Prenent l’arrel cúbica:
$$\alpha = \sqrt[3]{216} = 6.$$

4. Concloure el valor de $\alpha$
El valor de $\alpha$ és $\mathbf{6}$.

Representació gràfica

La corba és $y= 6x – x^2$. La representarem i marcarem l’àrea tancada entre la corba i l’eix d’abscisses.

Aquesta àrea és de 36, tal com es requeria.