Juny de 2014 – Sèrie 5 – Qüestió 4

Sabem que una funció $f$ té per derivada la funció $f'(x)=(3x-2)^2(x-2)$. a) Calculeu els valors de $x$ en què la funció f té un màxim relatiu, un mínim relatiu o un punt d’inflexió, i indiqueu en cada cas de què es tracta. b) Determineu la funció $f$ sabent que s’anul·la en el punt d’abscissa $x=2$.

a) Calculeu els valors de $x$ en què la funció f té un màxim relatiu, un mínim relatiu o un punt d’inflexió, i indiqueu en cada cas de què es tracta.

Comencem calculant els punts estacionaris, que són els que anul·len la primera derivada. En aquest cas $x=2$ i $\displaystyle x=\frac{2}{3}$.

Per a classificar aquests punts estacionaris farem servir la segona derivada.

$$\begin{align} f”(x) &= 2 \, (3x-2) \, 3 \, (x-2) + (3x-2)^2 \, 1 \\[6pt] &= (3x-2) \, \Big[ 6 \, (x-2) + (3x-2) \Big] \\[6pt] &= (3x-2) (9x-14) \end{align}$$

Com que $f”(2) = 16 \gt 0$, en $x=2$ la funció té un mínim relatiu.

Com que $\displaystyle f”(\frac{2}{3}) = 0$, en $\displaystyle x=\frac{2}{3}$ encara no podem concloure res.

Els punts candidats a ser punts d’inflexió són aquells que anul·len la segona derivada. En aquest cas $\displaystyle x=\frac{2}{3}$ i $\displaystyle x=\frac{14}{9}$.

Els punts candidats a ser punts d’inflexió són aquells que anul·len la segona derivada. En aquest cas $\displaystyle x=\frac{2}{3}$ i $\displaystyle x=\frac{14}{9}$.

Per a classificar aquests punts farem servir la tercera derivada.

$$\begin{align} f”'(x) &= 3 (9x-14) + (3x-2) 9 \\[6pt] &= 54x-60 \end{align}$$

Com que $\displaystyle f”'(\frac{2}{3}) \ne 0$, en $\displaystyle x=\frac{2}{3}$ la funció té un punt d’inflexió.

Com que $\displaystyle f”'(\frac{14}{9}) \ne 0$, en $\displaystyle x=\frac{14}{9}$ la funció té un punt d’inflexió.

b) Determineu la funció $f$ sabent que s’anul·la en el punt d’abscissa $x=2$.

Calculem primer la primitiva de la funció:

$$\displaystyle \begin{align} f(x) &= \int f'(x) \,dx \\[6pt] &= \int (3x-2)^2(x-2) \,dx \\[6pt] &= \int 9x^3-30x^2+28x-8 \,dx \\[6pt] &= \frac{9}{4}x^4-10x^3+14x^2-8x+K \end{align}$$

Ara determinem la constant d’integració $K$ fent servir que $f(2)=0$

$$\displaystyle \begin{align} f(2)=0 \quad &\Rightarrow \frac{9}{4} \cdot 2^4 – 10 \cdot 2^3 + 14 \cdot 2^2 – 8 \cdot 2 + K = 0 \\[6pt] &\Rightarrow 36 – 80 + 56 – 16 + K = 0 \\[6pt] &\Rightarrow K = 4 \end{align}$$

I ja tenim la funció:

$$\bbox[5px,border:1px solid]{\displaystyle f(x)=\frac{9}{4}x^4-10x^3+14x^2-8x+4}$$