Integrals irracionals

Calcula la integral $$\int\frac{x^2-3x+1}{x^3-5x^2+8x-4}dx$$

En aquest cas, és una integral racional. Factoritzarem el denominador i descompondrem la fracció en fraccions simples.

Com$x^3-5x^2+8x-4=(x-1)(x-2)^2$ tenim:

$$\frac{x^2-3x+1}{x^3-5x^2+8x-4}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{(x-2)^2}=$$
$$=\frac{A(x-2)^2+B(x-1)(x-2)+C(x-1)}{(x-1)(x-2)^2}$$

Donem ara valors per a $x$ al numerador:

• Si $x=2$, llavors $-1=C$.
• Si $x=1$, llavors $-1=A$.
• Si $x=0$, llavors $1=4A+2B-C\Rightarrow1=-4+2B+1\Rightarrow B=2$.
  Per tant:

$$\frac{x^2-3x+1}{x^3-5x^2+8x-4}=\frac{-1}{x-1}+\frac{2}{x-2}+\frac{-1}{(x-2)^2}$$
D’aquesta manera:

$$\int\frac{x^2-3x+1}{x^3-5x^2+8x-4}dx=\int\frac{-1}{x-1}dx+\int\frac{2}{x-2}dx+\int\frac{-1}{(x-2)^2}dx=$$
$$=\boxed{-\ln(x-1)+2\ln(x-2)+\frac{1}{x-2}+C}$$