Problema geometria. Posició relativa i distància

Considereu la recta $\displaystyle r: \; \frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{-1}=z-a$ i el pla $\pi: \; 2x+y-5z=5$.

1. Estudieu la posició relativa de la recta $r$ i el pla $\pi$ en funció del paràmetre $a$.

El vector director de la recta és $v_r = (3, −1, 1)$; el punt $P = (1, −2, a)$ pertany a la recta $r$. Per altra banda, el vector normal del pla $\pi$ és $v_π = (2, 1, −5)$. Comprovem si $v_r$ i $v_\pi$ són o no ortogonals,

$$v_r · v_\pi = (3, −1, 1) · (2, 1, −5) = 3 · 2 + (−1) · 1 + 1 · (−5) = 0$$.

Efectivament, ho són. Per tant, la recta és paral·lela al pla o la recta està continguda en el pla. Per acabar-ho de decidir, mirem si el punt $P$ pertany o no al pla.

$$P \in \pi \Longleftrightarrow 2 · 1 + (−2) − 5a = 5 \Longleftrightarrow a = −1$$.

En definitiva,

Si $a = −1$, la recta està continguda al pla.
Si $a \neq −1$, la recta i el pla són paral·lels.

2. Quan $a=3$, calculeu la distància de la recta $r$ al pla $\pi$.

Per trobar la distància entre una recta i un pla paral·lels, n’hi ha prou en calcular la distància d’un punt qualsevol de la recta al pla. Així,

$$\displaystyle d(r, \pi) = d(P, \pi) = \frac{\left| 2 · 1 + (−2) − 5 · 3 − 5 \right|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (−5)^2}} = \frac{20}{\sqrt{30}} = \frac{2\sqrt{30}}{3}$$