Exercici de geometria. 2013 – Juny – Opció A – Exercici 4

Sigui $r$ la recta que passa pel punt $(1,0,0)$ i té com a vector direcció $(a,2a,1)$ i sigui s la recta donada per

$$\left\{\begin{array}{lcr}-2x+y & = & -2 \\ -ax+z & = & 0 \end{array}\right.$$

a) Calcula els valors de a per als quals $r$ i $s$ són paral·leles.

Comencem escrivint $s$ en la seva forma paramètrica. Prenem $x=\lambda$

$s:\ \left\{\begin{array}{l}x=\lambda \\ y=-2+2\lambda \\ z=a\lambda \end{array}\right.$, sent $(1,2 ,a)$ un vector director de $s$

Perquè dues rectes siguin paral·leles els seus vectors directors han de ser proporcionals, després $$\dfrac{a}{1}=\dfrac{2a}{2}=\dfrac{1}{a}\hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{ 5pt} a=\dfrac{1}{a}\hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt}a^2=1\hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt} \boxed{a=\pm 1}$$

Vegem si per a algun dels dos casos, les rectes, a part de ser paral·leles, són coincidents:

Siguin $P(1,0,0)$ un punt de $r$ i $Q(0,-2,0)$ un punt de $s$. Si $\overrightarrow{PQ}$ és també proporcional als vostres vectors directors ambdues rectes seran coincidents.

$\overrightarrow{PQ}=(-1,-2,0)$ que clarament no és proporcional a $\vec{d_r}$ ni a $\vec{d_s}$. Després $r$ i $s$ són simplement paral·leles per $a=\pm 1$.

b) Calcula, per $a=1$, la distància entre $r$ i $s$.

$$r:\ \left\{\begin{array}{l}x=1+\mu \\ y=2\mu \\ z=\mu \end{array}\right.\ \text{ i } s:\ \left\{\begin{array}{l}x=\lambda \\ y=-2+2\lambda \\ z=\lambda \end{array}\right.\hspace{10pt}\Rightarrow \hspace{10pt}\left.\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\vec{d_r}=(1,2,1) \\ P(1,0,0 ) \end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}\vec{d_s}=(1,2,1) \\ Q(0,-2,0) \end{array}\right. \end{array}\right.$$

La distància entre dues rectes paral·leles és igual que la distància d’un punt qualsevol d’una de les rectes a l’altra recta.

$$dist(r,s)=dist(P,s)=\dfrac{|\overrightarrow{PQ}\times\vec{d_s}|}{|\vec{d_s}|}$$

$$\overrightarrow{PQ}\times\vec{d_s}=\left|\begin{array}{ccc} i & j & k \ -1 & -2 & 0 \ 1 & 2 & 1 \end{array} \right|=(-2,1,0)\hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt}|(-2,1,0)|=\sqrt{5}$$

$$|\vec{d_s}|=\sqrt{6}\hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt} \boxed{dist(r,s)=\sqrt{\dfrac{5}{6}}\ u}$$