Problema Geometria. 2013 – Juny – Opció B – Exercici 4

Considera els punts $P(2,3,1)$ i $Q(0,1,1)$.

a) Troba l’equació del pla $\pi$ respecte del qual $P$ i $Q$ són simètrics.

El pla respecte del que $P$ i $Q$ són simètrics contindrà el punt mitjà d’aquests dos i serà perpendicular al vector que els uneix.

Siga $M$ el punt mitjà de $P$ i $Q$, $M=\dfrac{P+Q}{2}\hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt}M(1,2,1)$

$$\overrightarrow{QP}=(2,2,0)$$

$$\left.\begin{array}{l} M\in\pi \\ \overrightarrow{QP}\perp\pi\end{array}\right\}\hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt}\pi :\ \overrightarrow{QP}\cdot\overrightarrow{MX}=0\hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt}\pi:\ (2,2,0)\cdot(x-1,y-2, z-1)=0$$
$$\pi:\ 2x+2y-6=0\hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{20pt} \boxed{\pi:\ x+y-3=0}$$

b) Calcula la distància de $P$ a $\pi$.

Sigueu $P(x_0,y_0,z_0)$ i $\pi:\ Ax+By+Cz+D=0$:

$$dist(P,\pi)=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{|\vec{n}|}=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{ A^2+B^2+C^2}}$$

$$dist(P,\pi)=\dfrac{|2+3-3|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\dfrac{2}{\sqrt{2}}\hspace{5pt} \Rightarrow\hspace{20pt} \boxed{dist(P,\pi)=\sqrt{2}\ u}$$