Sistema d’equacions cotxes de colors

Una marca de vehicles ha venut aquest mes cotxes de tres colors: blancs, negres i vermells. El $60$% dels cotxes blancs més el $50$% dels cotxes negres representen el $30$% dels cotxes venuts. El $20$% dels cotxes blancs juntament amb el $60$% dels cotxes negres i el $60$% dels cotxes vermells representen la meitat dels cotxes venuts. S’han venut 100 cotxes negres més que blancs. Determineu el nombre de cotxes venuts de cada color.

Anomenem $\left\{\begin{array}{ccl} x & \leftarrow & \text{número de cotxes blancs venuts} \\ y & \leftarrow & \text{número de cotxes negres venuts} \ \\ z & \leftarrow & \text{número de cotxes vermells venuts} \end{array}\right.$

El nombre total de cotxes venuts serà $x+y+z$.

Com el $60$% dels cotxes blancs $(0’6\cdot x)$ més el $50$% dels cotxes negres $(0’5\cdot y)$ representen el $30$% dels cotxes venuts $(0’3\cdot (x+y +z))$, tenim $0’6\cdot x+0’5\cdot y=0’3\cdot (x+y+z)$, que multiplicant per $10$ se’ns queda $6x+5y=3(x+y+ z) \Rightarrow \boxed{3x+2y-3z=0}$

I, com el $20$% dels cotxes blancs $(0’2\cdot x)$ juntament amb el $60$% dels cotxes negres $(0’6\cdot y)$ i el $60$% dels cotxes vermells $(0’6\cdot z )$ representen la meitat dels cotxes venuts $(0’5\cdot (x+y+z))$. $0’2\cdot x+0’6\cdot y+0’6\cdot z=0’5\cdot (x+y+z) \Rightarrow 2x+6y+6z=5(x+y+z)\Rightarrow \boxed{-3x+y+z=0}$

I també sabem que s’han venut 100 cotxes negres més que blancs $\boxed{x+100=y}$

Tenim un sistema de tres equacions amb tres incògnites:

$$\left\{\begin{array}{l} 3x+2y-3z=0 \\ -3x+y+z=0 \\ x+100=y \end{array}\right. \hspace{10pt}\Rightarrow\hspace{10pt} \left\{\begin{array}{l} 3x+2y-3z=0 \\ -3x+y+z=0 \\ x-y=-100 \end{array}\right.$$

$$A^+=\left(\begin{array}{rrr|c} 3 & 2 & -3 & 0 \\ -3 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & -100 \end{array}\right)$$ la matriu ampliada de coeficients del sistema.

Sumant-li a la fila $2$ la fila $1$ i multiplicant la fila $3$ per $-3$ i sumant-li la fila $1$ queda:

$$\left(\begin{array}{rrr|c} 3 & 2 & -3 & 0 \\ 0 & 3 & -2 & 0 \\ 0 & 5 & -3 & 300 \end{array}\right)$$

I al triple de la fila tres li restem el quíntuple de la fila $2$ ($3\cdot f_3-5\cdot f_2$), ens queda:

$$\left(\begin{array}{rrr|c} 3 & 2 & -3 & 0 \\ 0 & 3 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 900 \end{array}\right) \hspace {10pt}\Rightarrow\hspace{10pt} \left\{\begin{array}{l} 3x+2y-3z=0 \\ 3y-2z=0 \\ \boxed{z=900} \end{array} \right.$$

$$\Rightarrow\hspace{10pt} 3y-2\cdot 900=0 \hspace{10pt}\Rightarrow\hspace{10pt} 3y=1800\hspace{10pt}\Rightarrow\hspace{10pt} \boxed{y=600}$$

$$\Rightarrow\hspace{10pt} 3x+2\cdot600-3\cdot900=0 \hspace{10pt}\Rightarrow\hspace{10pt} 3x+1200-2700=0 \hspace{10pt}\Rightarrow\hspace{10pt} 3x =1500$$

$$\Rightarrow\hspace{10pt} \boxed{x=500}$$

S’han venut $500$ cotxes blancs, $600$ cotxes negres i $900$ cotxes vermells.