empresa de missatgeria

Una empresa de missatgeria opera en tres rutes diferents $A$, $B$ i $C$. Setmanalment fa un total de $70$ viatges i el nombre de viatges per la ruta $B$ és igual a la suma dels viatges per les rutes $A$ i $C$.

a) Si sabem que el doble de la suma dels viatges per les rutes $A$ i $C$ és $70$, podem deduir el nombre de viatges per cada ruta? Raona la resposta.

Siga $A$ el nombre de viatges que fa per la ruta $A$, sigui $B$ el nombre de viatges que fa per la ruta $B$ i sigui $C$ el nombre de viatges que fa per la ruta $C$. Hem de:

$$\left.\begin{array}{l} A+B+C=70 \\ B=A+C \\ 2\cdot\left(A+C\right)=70 \end{array}\right\} \hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt} \left\{\begin{array}{l} A+B+C=70 \\ -A+B-C=0 \\ A+C=35 \end{array}\right.$$

Sumant les equacions anteriors obtenim que $2B=70 \hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt} \boxed{B=35}$.

I amb aquesta nova dada $\left\{\begin{array}{l} A+35+C=70 \\ -A+35-C=0 \\ A+C=35 \end{array}\right.\hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt} \left\{\begin{array}{l} A+C=35 \\ A+C=35 \\ A+C=35 \end{array}\right.$

$$\Rightarrow\hspace{5pt} \boxed{\left.\begin{array}{l} B=35 \\ A+C=35 \end{array}\right.} \hspace{15pt} \left.\begin{array}{l} \textit{Sistema Compatible Indeterminat}, \\ \text{no té una única solució}. \end{array}\right.$$

b) Si el doble de viatges per la ruta $C$ és igual al nombre de viatges per la ruta $B$ menys $5$, quants viatges fa per cada ruta?

$$\left.\begin{array}{l} A+B+C=70 \\ B=A+C \\ 2C=B-5 \end{array}\right\}$$ $$\hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt} \left\{\begin{array}{l} A+B+C=70 \\ -A+B-C=0 \\ 2C-B=-5 \end{array}\right.$$

Sumant les equacions obtenim que $2B=70 \hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt} \boxed{B=35}$.

$$2C-35=-5 \hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt} 2C=30 \hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt} \boxed{C=15}$$.

$$A+35+15=70 \hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt} \boxed{A=20}$$.