Matrices. Matriz inversa y cálculo matricial

Considera las matrices $$A=\left(\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & a \\ 2 & a & 1 \\ 2 & 2 & 0 \end{array}\right)\ \text{ y } C=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & -2 \\ 2 & -1 & -1 \end{array}\right)$$.

a) Determina los valores de $a$ para los que la matriz $B$ no tiene inversa. (0,5 puntos)

Para que una matriz tenga inversa esta debe ser cuadrada y su determinante debe ser distinto de cero. Como $B$ es cuadrada, 3\times3, busquemos para qué valores de a su determinante es cero.

$$|B|=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & a \\ 2 & a & 1 \\ 2 & 2 & 0 \end{array}\right|=0+2+4a-2a^2-2-0=4a-2a^2$$

$$|B|=0 \hspace{5pt}\Leftrightarrow\hspace{5pt} 4a-2a^2=0 \hspace{5pt}\Leftrightarrow\hspace{5pt}2a\cdot\left(2-a\right)=0 \hspace{5pt}\Leftrightarrow\hspace{5pt} \left\{\begin{array}{l} a=0 \ a=2 \end{array}\right.$$

$B$ no tiene inversa si $a=0$ o si $a=2$.

b) Para $a=1$ calcula $X$ tal que $AXB=C$, si es posible. (2 puntos)

Para $a=1:\hspace{10pt} B=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \end{array}\right)$ tiene inversa, ya que $|B|=0+2+4-2-2-0=2\neq0$.

Y como $|A|=\left|\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{array}\right|=1-0=1\neq0$, $A$ también tiene inversa.

Luego, podemos despejar $X$ multiplicando en ambos miembros de la ecuación por la izquierda o por la derecha por una misma matriz.

$$AXB=C \hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt} A^{-1}AXB=A^{-1}C \hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt} IXB=A^{-1}C \hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt} XB=A^{-1}C \hspace{5pt}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow\hspace{5pt} XBB^{-1}=A^{-1}CB^{-1} \hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt} XI=A^{-1}CB^{-1} \hspace{5pt}\Rightarrow\hspace{5pt} \boxed{X=A^{-1}CB^{-1}}$$

$$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}Adj\left(A^t\right)=\dfrac{1}{1}Adj\left(\begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{array}\right)=Adj\left(\begin{array}{rr} 1 & -2 \ 0 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr} 1 & 0 \ 2 & 1 \end{array}\right)$$

$$B^{-1}=\dfrac{1}{|B|}Adj\left(B^t\right)=\dfrac{1}{2}Adj\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\begin{array}{rrr} -2 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr} -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & \frac{1}{2} \\ 1 & 0 & -\frac{1}{2} \end{array}\right)$$

Entonces:

$$X=\left(\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & -2 \\ 2 & -1 & -1 \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rrr} -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & \frac{1}{2} \\ 1 & 0 & -\frac{1}{2} \end{array}\right)=$$

$$=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & -2 \\ 4 & -1 & -5 \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rrr} -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & \frac{1}{2} \\ 1 & 0 & -\frac{1}{2} \end{array}\right)=\boxed{\left(\begin{array}{ccc} -3 & 1 & 1 \\ -10 & 5 & 2 \end{array}\right)}$$