Problema continuïtat

Troba els valors de $a$ i $b$ perquè la funció següent sigui contínua en tot R

$$f(x) = \left\{\begin{array}{rcr}1+\cos x & \text{ si }& x \leq 0 \\ 2(a-x) & \text{ si } & 0 < x < 1 \\ \frac{b}{x^2} & \text{ si } & x \geq1\end{array}\right.$$

A $(-\infty,0)$ és contínua?
$1 + \cos(x)$ és contínua a R i per tant també ho és a $(-\infty,0)$

A $(0,1)$ és contínua?
$2(a-x)$ és una funció polinòmica contínua a R i per tant també ho és a $(0,1)$

A $(1, +\infty)$ és contínua?
$\frac{b}{x^2}$ és contínua a $R-{0}$, per tant és contínua a $(1, +\infty)$

Per tant, tenim garantida la continuïtat en els $3$ intervals anteriors, independentment del que valguin $a$ i $b$

Vegem ara la continuïtat als punts crítics (punts que separen dos trossos)

A $x=0$ és contínua?

Hem d’aplicar la definició de continuïtat en un punt

$$f(0) = 1 + \cos(0) = 1+1=2$$

$$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = 1 + \cos(0) = 1+1=2$$

$$\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = 2(a-0) = 2a$$

Perquè sigui contínua en $x=0$, els tres resultats anteriors han de ser iguals, per tant $2a=2 \longrightarrow \textcolor{blue}{a=1}$

A $x=1$ és contínua?

$$f(1) = \frac{b}{1^2}=b$$

$$\lim_{x \rightarrow 1^-} f(x) = 2(a-1) = 2(1-1)=0$$

$$\lim_{x \rightarrow 1^+} f(x) = \frac{b}{1^2}=b$$

Perquè sigui continua en $x=0$, els tres resultats anteriors han de ser iguals, per tant $\textcolor{blue}{b=0}$

La funció serà contínua a tot R quan $a=1$ i $b=0$