Problema Juny B2. Selectivitat Illes Balears

De totes les rectes que passen pel punt $P(0, 2, -1)$, cercau la que talla les rectes d’equacions:

$$(x, y, z)=(1, 1, 2)+t(2, -1, 0)\quad (x, y, z)= (0, 1, 1)+s(-3, 1, 2)$$

1.Haurem de trobar un pla $\pi$ que conté a $P$ i a la recta $s$, necessitarem trobar un punt $S$ de la recta $s$ i a continuació amb el punt S i el punt P trobar un vector director $\vec{SP}$

$$S(0, 1, 1);\quad P(0, 2, -1)\longrightarrow \vec{SP} = P-S =(0, 2, -1)- (0, 1, 1) = (0, 1, -2)$$

Ara trobarem el vector normal del pla $\pi$ amb el producte vectorial:

$$n_{\pi} = \vec{v_s}\wedge \vec{SP} =\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ -3 & 1 & 2\\ 0 & 1 & -2\end{vmatrix} = (4, -6, -3)$$

Ara trobem la $D$ amb la condició anterior i el punt P, tot obtenint:

$$-4x-6y-3z+9 = 0$$

2.Ara imposem la condició de que la recta $r$ intersecciona amb el pla $\pi$

$$-4(1+2t)-6(1-t)-3\cdot2+9 = 0$$

$$-4-8t-6+6t-6+9 = 0$$

$$-2t = 7$$

$$t=\frac{-7}{2}$$

Ara substituïnt el valor de $t$ a l’equació de la recta r obtenim un punt: $M(-6, \frac{9}{2}, 2)$

3.Equació recta que passa pels punts P i M:

$$\vec{PM}= M-P= (-6, \frac{9}{2}, 2) – (0, 2, 1) = (-6, \frac{5}{2}, 3)\equiv(-12, 5, 6)$$

Per tant la recta demanada és:

$$(x, y, z) = (0, 2, -1)+\lambda(-12, 5, 6)$$