Càlcul angle entre recta i pla

Per calcular l’angle entre una recta i un pla, primer hem de trobar un vector normal del pla i un vector director de la recta.

Suposem que tenim la recta r que passa pel punt $P(1, 2, 3)$ i té la direcció del vector $\vec{v} = (2, 1, 1)$, i el pla π que passa pel punt Q(2, -1, 0) i té l’equació $2x – y + 3z = 1$.

Per trobar un vector normal del pla $\pi$, podem prendre el vector $(2, -1, 3)$ que és un vector perpendicular al vector normal del pla. Podem comprovar que aquest vector és perpendicular al pla $\pi$ fent el producte escalar entre el vector normal del pla i el vector $(2, -1, 3)$:

$$(2, -1, 3) \cdot (2, -1, -3) = 4 – 1 – 9 = -6 \not = 0$$

Per trobar un vector director de la recta $r$, podem utilitzar el vector v que ja tenim.

L’angle entre la recta i el pla és l’angle que formen els vectors director de la recta i el vector normal del pla. Podem utilitzar la següent fórmula per calcular l’angle $\theta$ entre dos vectors $u$ i $v$:

$$cos\theta = (u\cdot v) / (||u|| ||v||)$$

on $||u||$ i $||v||$ són les magnituds dels vectors $u$ i $v$, respectivament.

Per tant, el cosinus de l’angle entre la recta $r$ i el pla $\pi$ és:

$$\cos \theta = (v \cdot n) / (||v|| ||n||)$$

on $v = (2, 1, 1)$ és el vector director de la recta $r$ i $n = (2, -1, 3)$ és un vector normal del pla $\pi$. Les magnituds dels vectors $v$ i $n$ són:

$$||v|| = √(2² + 1² + 1²) = √6$$
$$||n|| = √(2² + (-1)² + 3²) = √14$$

El producte escalar entre $v$ i $n$ és:

$v \cdot n = 2·2 + 1·(-1) + 1·3 = 6$

Per tant, el cosinus de l’angle entre la recta $r$ i el pla $\pi$ és:

$$\cos\theta = (6) / (√6 · √14) = 3 / (2√21)$$

L’angle $\theta$ entre la recta $r$ i el pla $\pi$ és, per tant:

$$ = \arccos(3 / (2√21)) ≈ 36,4\ graus$$.