Càlcul angle entre recta i pla

Per calcular l’angle entre una recta i un pla, primer hem de trobar un vector normal del pla i un vector director de la recta.

Suposem que tenim la recta $r$ que passa pel punt $P(1, 2, 3)$ i té la direcció del vector $\vec{v} = (2, 1, 1)$, i el pla $\pi$ que passa pel punt $Q(2, -1, 0)$ i té l’equació:

\begin{equation}
2x – y + 3z = 1.
\end{equation}

Per trobar un vector normal del pla $\pi$, podem prendre el vector $\vec{n} = (2, -1, 3)$, que és un vector perpendicular al pla. Comprovem que aquest vector és realment perpendicular fent el producte escalar entre el vector normal del pla i el vector $(2, -1, 3)$:

\begin{equation}
(2, -1, 3) \cdot (2, -1, -3) = 4 – 1 – 9 = -6 \neq 0.
\end{equation}

Per trobar un vector director de la recta $r$, podem utilitzar el vector $\vec{v}$ que ja tenim.

L’angle entre la recta i el pla és l’angle que formen el vector director de la recta i el vector normal del pla. Utilitzem la següent fórmula per calcular l’angle $\theta$ entre dos vectors $\vec{u}$ i $\vec{v}$:

\begin{equation}
\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|},
\end{equation}

on $|\vec{u}|$ i $|\vec{v}|$ són les magnituds dels vectors $\vec{u}$ i $\vec{v}$, respectivament.

Per tant, el cosinus de l’angle entre la recta $r$ i el pla $\pi$ és:

\begin{equation}
\cos\theta = \frac{\vec{v} \cdot \vec{n}}{|\vec{v}| |\vec{n}|},
\end{equation}

on $\vec{v} = (2,1,1)$ és el vector director de la recta $r$ i $\vec{n} = (2,-1,3)$ és un vector normal del pla $\pi$. Les magnituds dels vectors $\vec{v}$ i $\vec{n}$ són:

\begin{equation}
|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{6},
\end{equation}
\begin{equation}
|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{14}.
\end{equation}

El producte escalar entre $\vec{v}$ i $\vec{n}$ és:

\begin{equation}
\vec{v} \cdot \vec{n} = 2 \cdot 2 + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 = 6.
\end{equation}

Per tant, el cosinus de l’angle entre la recta $r$ i el pla $\pi$ és:

\begin{equation}
\cos\theta = \frac{6}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{14}} = \frac{3}{2\sqrt{21}}.
\end{equation}

L’angle $\theta$ entre la recta $r$ i el pla $\pi$ és, per tant:

\begin{equation}
\theta = \arccos \left( \frac{3}{2\sqrt{21}} \right) \approx 36.4^\circ.
\end{equation}