Càlcul de la distància entre dues rectes

Troba la distància entre les rectes: $$r \equiv \frac{x+3}{3}=\frac{y-9}{-2} = \frac{z-8}{-2}$$ $$s \equiv \frac{x-3}{-2}=\frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{2}$$

En primer lloc estudiem la posició relativa de les rectes. Necessitarem un punt i un vector de cada recta

$$r \equiv \frac{x+3}{3}=\frac{y-9}{-2} = \frac{z-8}{-2}$$

$\vec{v_r} = (3, -2, -2)$; $P_r (-3, 9, 8)$

$$s \equiv \frac{x-3}{-2}=\frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{2}$$

$\vec{v_s} = (-2, 1, 2)$; $P_s(3, 2, 1)$

$$\vec{P_rP_s} = (6,-7,-7)$$

$$M = \left(\begin{array}{ccc}3 & -2 & -2 \\ -2 & 1 & 2 \\ 6 & -7 & -7\end{array}\right)$$

$det(M)=9 \longrightarrow$ $r$ i $s$ es creuen

Ara calculem la distància seguint la fórmula

$$d(r,s) = \frac{\left| [\vec{v_r},\vec{v_s},\vec{P_rP_s}] \right|}{\left| \vec{v_r} \times \vec{v_s} \right|}$$

$$[\vec{v_r},\vec{v_s},\vec{P_rP_s}] = \left|\begin{array}{ccc}3 & -2 & -2 \\ -2 & 1 & 2 \\ 6 & -7 & -7\end{array}\right| = 9$$

$$\vec{v_r} \times \vec{v_s} = \left|\begin{array}{ccc}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & -2 & -2 \\ -2 & 1 & 2\end{array}\right| = -2\vec{i} -2\vec{j} -\vec{k}$$

$$\left| \vec{v_r} \times \vec{v_s} \right| = +\sqrt{(-2)^2+(-2)^2+(-1)^2}=+\sqrt{9}=3$$

$$d(r,s) = \frac{|9|}{3} = \frac{9}{3}=3$$

Estan a una distància de $3$ unitats.