Problema sistema d’equacions. [2014JunB1]. Selectivitat Illes Balears

Una multinacional té tres delegacions, una a Palma, una altra a Ciutadella i l’última a Eivissa. El nombre total d’alts executius de les tres delegacions ascendeix a 31. Perquè el nombre d’alts executius de la delegació de Ciutadella fos igual al de Palma haurien de traslladar-se 3 executius de Palma a Ciutadella. A més, el nombre de la de Palma excedeix en 1 la suma dels destinats a les altres dues delegacions. Quants alts executius estan destinats a cada delegació.

Definim les incògnites següents:

• \( x \) = nombre d’alts executius a Palma
• \( y \) = nombre d’alts executius a Ciutadella
• \( z \) = nombre d’alts executius a Eivissa

Sabem que:

• El total d’executius és 31 \[ x + y + z = 31 \]
• Si traslladem 3 executius de Palma a Ciutadella, els dos llocs tindrien el mateix nombre d’executius \[ x – 3 = y + 3 \quad \Rightarrow \quad x – y = 6 \]
• El nombre d’executius a Palma és 1 més que la suma dels altres dos \[ x = y + z + 1 \]

Ara resolem el sistema d’equacions:

• \( x + y + z = 31 \)
• \( x – y = 6 \)
• \( x = y + z + 1 \)

Substitució

De (3), substituïm \( x \) a (1):\[(y + z + 1) + y + z = 31\]\[2y + 2z + 1 = 31\]\[2y + 2z = 30\]\[y + z = 15\]

De (2), sabem que \( x = y + 6 \). Substituïm a (3):\[y + 6 = y + z + 1\]\[6 = z + 1\]\[z = 5\]

Substituïm \( z = 5 \) a \( y + z = 15 \):\[y + 5 = 15\]\[y = 10\]

Finalment, substituïm \( y = 10 \) a \( x = y + 6 \):\[x = 10 + 6 = 16\]

Resposta:

• Palma: 16 executius
• Ciutadella: 10 executius
• Eivissa: 5 executius