Problema inferència estadística. Durada dels matrimonis

La durada dels matrimonis a un país es distribueix segons una llei normal amb desviació típica $4,8$ anys.

a) Si es pren una mostra de $64$ matrimonis la mitjana dels quals és $16$ anys, trobeu un interval de confiança al $95\%$ per a la mitjana de la població
b) Si sabem que la mitjana poblacional és $15$, quina és la probabilitat que la mitjana d’una mostra de mida $100$ sigui superior a $16,35$ anys?

a) Interval de confiança al 95% per a la mitjana de la població

Sabem que la distribució de les durades dels matrimonis segueix una distribució normal amb una desviació estàndard coneguda ($\sigma = 4.8$ anys), per tant, podem utilitzar la fórmula per al interval de confiança de la mitjana mostral: $\text{Interval de confiança} = \bar{x} \pm Z_{\alpha/2} \cdot\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

On:

• $\bar{x}$ és la mitjana mostral ($16$ anys).
• $Z_{\alpha/2}$ és el valor crític per a un interval de confiança del $95\%$. Per a aquest interval, $Z_{\alpha/2} = 1.96$.
• $\sigma$ és la desviació estàndard de la població ($4.8$ anys).
• $n$ és la mida de la mostra ($64$ matrimonis).

Substituïm els valors coneguts a la fórmula: $\text{Amplitud} = 1.96 \cdot\displaystyle\frac{4.8}{\sqrt{64}} = 1.96 \cdot \displaystyle\frac{4.8}{8} = 1.96 \cdot0.6 = 1.176$

Per tant, el interval de confiança és: $\left( 16 – 1.176, 16 + 1.176 \right) = \left( 14.824, 17.176 \right)$

Així que el interval de confiança al $95\%$ per a la mitjana de la població és $(14.824, 17.176)$.

b) Probabilitat que la mitjana d’una mostra de mida $100$ sigui superior a $16,35$ anys

Sabem que la mitjana poblacional és $\mu = 15$ anys i la desviació estàndard de la població és $\sigma = 4.8$ anys. Volem calcular la probabilitat que la mitjana d’una mostra de mida $n = 100$ sigui superior a $16,35$ anys.

Primer, necessitem la desviació estàndard de la mitjana mostral, que es calcula com: $\sigma_{\bar{x}} = \displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \displaystyle\frac{4.8}{\sqrt{100}} = \displaystyle\frac{4.8}{10} = 0.48$

Ara, calculem el valor $Z$ per $\bar{x} = 16.35$ utilitzant la fórmula del valor estàndard $Z$: $$Z = \displaystyle\frac{\bar{x} – \mu}{\sigma_{\bar{x}}} = \displaystyle\frac{16.35 – 15}{0.48} = \displaystyle\frac{1.35}{0.48} \approx 2.8125$$

Ara, consultem la taula de la distribució normal estàndard per al valor $Z = 2.8125$. Aquest valor ens dona una probabilitat acumulada fins a aquest punt. Utilitzant la taula, trobem que la probabilitat que $Z$ sigui menor que $2.8125$ és aproximadament $0.9975$.

Com ens demanen la probabilitat que la mitjana de la mostra sigui superior a $16,35$ anys, hem de restar aquesta probabilitat de $1$: $$P(\bar{x} > 16.35) = 1 – P(Z < 2.8125) = 1 – 0.9975 = 0.0025$$

Per tant, la probabilitat que la mitjana de la mostra sigui superior a $16,35$ anys és aproximadament $0.0025$, o $0.25\%$.

Respostes finals:

a) El interval de confiança al $95\%$ per a la mitjana de la població és $(14.824, 17.176)$.

b) La probabilitat que la mitjana d’una mostra de mida $100$ sigui superior a $16,35$ anys és aproximadament $0.0025$ o $0.25\%$.