Problema distribució normal i interval de confiança. Qualificacions

La qualificació que obté l’alumnat en una determinada assignatura segueix una distribució normal de mitjana $\mu$ i desviació típica de $3$ punts. a) Es pren una mostra aleatòria simple de $100$ alumnes, obtenint una qualificació mitjana de $5.7$ punts. Calculeu un interval de confiança per estimar $\mu$ a un nivell de confiança del $95\%$. b) Determineu la mida mínima que ha de tenir una mostra aleatòria per poder estimar $\mu$ amb un error màxim de $0.5$ punts i un nivell de confiança del $99\%$.

a) L’interval de confiança per a la mitjana té la forma:

\begin{equation}
(\overline x-E,\overline x+E)
\end{equation}
sent l’error $E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}$, $\sigma=3$, $n=100$ i $\overline x=5.7$
Per a un nivell de confiança del $95\%$ hem de $z_{\alpha/2}=1.96$, després

\begin{equation}
E=1.96\cdot\dfrac3{\sqrt{100}}=0.588
\end{equation}
i l’interval de confiança és:

\begin{equation}
(5.7-0.588,5.7+0.588)=(5.112,6.288)
\end{equation}

b) Per determinar la mida mínima de la mostra, aclarim $n$ de la fórmula de l’error:

\begin{equation}
E=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}
\end{equation}
\begin{equation}
\sqrt n=z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}E
\end{equation}
\begin{equation}
n=\left(z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}E\right)^2
\end{equation}
Sent $E=0.5$ i, per a un nivell de confiança del $99\%$, $z_{\alpha/2}=2.575$, tenim:

\begin{equation}
n=\left(2.575\cdot\dfrac3{0.5}\right)^2=238.7
\end{equation}
És a dir, hem de prendre una mostra d’almenys 239$ individus.