Problema 4. Matemàtiques Juny 2019. Selectivitat Andalusia

Considera el triangle els vèrtexs del qual són els punts \( A(1, 1, 0) \), \( B(1, 0, 2) \) i \( C(0, 2, 1) \). a) Troba l’àrea d’aquest triangle. b) Calcula el cosinus de l’angle en el vèrtex \( A \).

a) Donats els punts $A(1, 1, 0)$, $B(1, 0, 2)$ i $C(0, 2, 1)$, podem formar els vectors:
$$\vec{AB} = (0, -1, 2)$$
$$\vec{AC} = (-1, 1, 1)$$

El producte vectorial ens dona l’àrea del paral·lelogram.
La meitat és l’àrea del triangle.

$$A_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot |\vec{AB} \times \vec{AC}|$$

$$\vec{AB} \times \vec{AC} = \left| \begin{array}{ccc}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
0 & -1 & 1 \\
-1 & 1 & 1
\end{array} \right| = -3\vec{i} – 2\vec{j} – \vec{k}$$

Per tant,

$$\vec{AB} \times \vec{AC} = (-3, -2, -1)$$

$$A_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{14} \, u^2$$

b) De la fórmula del producte escalar:

$$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\widehat{\vec{AB}, \vec{AC}})$$

Aïllarem el cosinus:

$$\cos(\hat{A}) = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{AC}|}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} =
\cos(\hat{A}) = \frac{(-1) \cdot 0 + (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 1}{\sqrt{0^2 + (-1)^2 + 2^2} \cdot \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2}}$$

$$\cos(\hat{A}) = \frac{1}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{15}}$$