Plantejament sistemes d’equacions. Viatgers i recaptació

Un tren transporta $500$ viatgers i la recaptació de l’import dels seus bitllets ascendeix a $2115$ €. Calcular de forma raonada quants viatgers han pagat l’import total del bitllet, que val $9$ €, quants han pagat el $20\%$ del bitllet i quants el $50\%$, sabent que el nombre de viatgers que han pagat el $20\%$ és el doble del nombre de viatgers que han pagat el bitllet sencer.

Per resoldre aquest problema mitjançant el mètode de Gauss, primer definirem les variables i formularem un sistema d’equacions.

Definim les següents variables:

• $x$: nombre de viatgers que han pagat el bitllet sencer (9 €).
• $y$: nombre de viatgers que han pagat el 20% del bitllet (1,8 €).
• $z$: nombre de viatgers que han pagat el 50% del bitllet (4,5 €).

Sabem les següents condicions:

1. El nombre total de viatgers és $500$, és a dir: $x + y + z = 500$
2. El total de la recaptació és de $2115$ €, el qual es distribueix entre els diferents grups de viatgers. Així, la recaptació total serà: $9x + 1,8y + 4,5z = 2115$
3. El nombre de viatgers que han pagat el $20\%$ és el doble dels viatgers que han pagat el bitllet sencer: $y = 2x$

Ara, tenim un sistema d’equacions lineals amb tres incògnites: $$\begin{cases} x + y + z = 500 \\ 9x + 1,8y + 4,5z = 2115 \\ y = 2x \end{cases}$$

Resolem el sistema mitjançant el mètode de Gauss

Substituïm $y = 2x$ en les dues primeres equacions. De l’equació $$x + y + z = 500$$, substituïm $y$: $$x + 2x + z = 500 \quad \Rightarrow \quad 3x + z = 500$$ De l’equació: $$9x + 1,8y + 4,5z = 2115$$, substituïm $y$: $$9x + 1,8(2x) + 4,5z = 2115 \quad \Rightarrow \quad 9x + 3,6x + 4,5z = 2115 \quad \Rightarrow \quad 12,6x + 4,5z = 2115$$

Ara tenim el següent sistema reduït: $$\begin{cases} 3x + z = 500 \\ 12,6x + 4,5z = 2115 \end{cases}$$

Resolem aquest sistema. Primer, expressarem $z$ en funció de $x$ de l’equació $3x + z = 500$: $$z = 500 – 3x$$

Substituïm $z = 500 – 3x$ en l’equació $12,6x + 4,5z = 2115$: $$12,6x + 4,5(500 – 3x) = 2115$$

Desenvolupem: $$12,6x + 2250 – 13,5x = 2115$$

Simplifiquem: $$-0,9x + 2250 = 2115$$

Resolem per $x$: $$-0,9x = 2115 – 2250 = -135 x=−135−0,9=150x = \frac{-135}{-0,9} = 150$$

Ara substituïm $x = 150$ a l’equació $z = 500 – 3x$: $$z = 500 – 3(150) = 500 – 450 = 50$$

Finalment, substituïm $x = 150$ a l’equació $y = 2x$: $$y = 2(150) = 300$$

Solució

El nombre de viatgers que han pagat el bitllet sencer és $x = 150$, els viatgers que han pagat el $20\%$ són $y = 300$, i els viatgers que han pagat el $50\%$ són $z = 50.

Per tant:

• $150$ viatgers han pagat el bitllet sencer.
• $300$ viatgers han pagat el $20\%$ del bitllet.
• $50$ viatgers han pagat el $50\%$ del bitllet.