Problema plantejament sistemes d’equacions

Una papereria posa a la venda $50$ bolígrafs repartits entre tres tipus: blaus, vermells i negres. El nombre de bolígrafs blaus és $11$ vegades la suma de la quantitat de bolígrafs negres més la meitat dels bolígrafs vermells. Ven per $3,75$ euros cada bolígraf blau, per $2,25$ euros cada bolígraf vermell i per $1,5$ euros cada bolígraf negre. Sabent que li han robat $2$ bolígrafs negres i $4$ blaus i que ha recaptat venent la resta dels bolígrafs $159$ euros, quants bolígrafs vermells, blaus i negres tenia la botiga inicialment?

Definim les següents variables:

• $x: \text{(nombre de bolígrafs blaus)}$
• $y: \text{(nombre de bolígrafs vermells)}$
• $z: \text{(nombre de bolígrafs negres)}$

Aleshores tenim el següent sistema d’equacions:

1. El total de bolígrafs és 50:
   \begin{equation}
   x + y + z = 50
   \end{equation}
2. El nombre de bolígrafs blaus és 11 vegades la suma de la quantitat de bolígrafs negres més la meitat dels bolígrafs vermells:
   \begin{equation}
   x = 11 \left( z + \frac{y}{2} \right)
   \end{equation}
3. El total de diners obtinguts després del robatori és de 159 euros. Sabem que li han robat 2 bolígrafs negres i 4 blaus. L’import total de la venda dels bolígrafs restants és:
   \begin{equation}
   3,75(x – 4) + 2,25y + 1,50(z – 2) = 159
   \end{equation}

Ara, substituïm l’expressió de $x$ de l’equació (2) en les altres dues equacions. Comencem per l’equació (1):

\begin{equation}
11z + \frac{11y}{2} + y + z = 50
\end{equation}

Multipliquem per $2$ per eliminar el denominador:
\begin{equation}
2 \left( 11z + \frac{11y}{2} + y + z \right) = 2 \times 50
\end{equation}

Això ens dóna:
\begin{equation}
22z + 11y + 2y + 2z = 100
\end{equation}

Simplificant, obtenim l’equació:
\begin{equation}
24z + 13y = 100
\end{equation}

Substituïm l’expressió de $x$ a l’equació (3):
\begin{equation}
3,75 \left( 11z + \frac{11y}{2} – 4 \right) + 2,25y + 1,50(z – 2) = 159
\end{equation}

Multipliquem tot per 2 per eliminar els decimals:
\begin{equation}
7,5 \left( 11z + \frac{11y}{2} – 4 \right) + 4,5y + 3(z – 2) = 318
\end{equation}

Desenvolupant i simplificant:
\begin{equation}
82,5z + 41,25y – 30 + 4,5y + 3z – 6 = 318
\end{equation}

\begin{equation}
85,5z + 45,75y = 354
\end{equation}

Ara resolem el sistema d’equacions (4) i (5):

1. \begin{equation}
   24z + 13y = 100
   \end{equation}
2. \begin{equation}
   85,5z + 45,75y = 354
   \end{equation}

La matriu del sistema és:
$$A = \begin{pmatrix}
24 & 13 \\
85,5 & 45,75
\end{pmatrix}$$

El seu determinant és:
$$\text{det}(A) = (24 \times 45,75) – (13 \times 85,5) = 1098 – 1111,5 = -13,5$$

Per trobar $z$ i $y$, calculem les determinades de les matrius $A_z$ i $A_y$.

Per $A_z$, substituïm la columna de la dreta per la columna de resultats:
$$A_z = \begin{pmatrix}
100 & 13 \\
354 & 45,75
\end{pmatrix}$$
$$\text{det}(A_z) = (100 \times 45,75) – (13 \times 354) = 4575 – 4602 = -27$$

Per $A_y$, substituïm la columna de l’esquerra per la columna de resultats:
$$A_y = \begin{pmatrix}
24 & 100 \\
85,5 & 354
\end{pmatrix}$$
$$\text{det}(A_y) = (24 \times 354) – (100 \times 85,5) = 8496 – 8550 = -54$$

Ara podem trobar $z$ i $y$:

\begin{equation}
z = \frac{\text{det}(A_z)}{\text{det}(A)} = \frac{-27}{-13,5} = 2
\end{equation}

\begin{equation}
y = \frac{\text{det}(A_y)}{\text{det}(A)} = \frac{-54}{-13,5} = 4
\end{equation}

Finalment, substituïm aquests valors a l’equació $x + y + z = 50$ per trobar $x$:

\begin{equation}
x + 4 + 2 = 50
\end{equation}
\begin{equation}
x = 50 – 6 = 44
\end{equation}

Per tant, els bolígrafs inicials eren:

• Bolígrafs blaus $x$: 44
• Bolígrafs vermells $y$: 4
• Bolígrafs negres $z$: 2