Problema plantejament sistemes d’equacions

Una papereria posa a la venda 50 bolígrafs repartits entre tres tipus: blaus, vermells i negres. El nombre de bolígrafs blaus és 11 vegades la suma de la quantitat de bolígrafs negres més la meitat dels bolígrafs vermells. Vende per 3,75 euros cada bolígraf blau, per 2,25 euros cada bolígraf vermell i per 1,5 euros cada bolígraf negre. Sabent que li han robat 2 bolígrafs negres i 4 blaus i que ha recaptat venent la resta dels bolígrafs 159 euros, quants bolígrafs vermells, blaus i negres tenia la botiga inicialment?

Definim les següents variables:

• $x: \text{(nombre de bolígrafs blaus)}$
• $y: \text{(nombre de bolígrafs vermells)}$
• $z: \text{(nombre de bolígrafs negres)}$

Aleshores tenim el següent sistema d’equacions:

1. El total de bolígrafs és 50:
   \begin{equation}
   x + y + z = 50
   \end{equation}
2. El nombre de bolígrafs blaus és 11 vegades la suma de la quantitat de bolígrafs negres més la meitat dels bolígrafs vermells:
   \begin{equation}
   x = 11 \left( z + \frac{y}{2} \right)
   \end{equation}
3. El total de diners obtinguts després del robatori és de 159 euros. Sabem que li han robat 2 bolígrafs negres i 4 blaus. L’import total de la venda dels bolígrafs restants és:
   \begin{equation}
   3,75(x – 4) + 2,25y + 1,50(z – 2) = 159
   \end{equation}

Ara, substituïm l’expressió de $x$ de l’equació (2) en les altres dues equacions. Comencem per l’equació (1):

\begin{equation}
11z + \frac{11y}{2} + y + z = 50
\end{equation}

Multipliquem per $2$ per eliminar el denominador:
\begin{equation}
2 \left( 11z + \frac{11y}{2} + y + z \right) = 2 \times 50
\end{equation}

Això ens dóna:
\begin{equation}
22z + 11y + 2y + 2z = 100
\end{equation}

Simplificant, obtenim l’equació:
\begin{equation}
24z + 13y = 100
\end{equation}

Substituïm l’expressió de $x$ a l’equació (3):
\begin{equation}
3,75 \left( 11z + \frac{11y}{2} – 4 \right) + 2,25y + 1,50(z – 2) = 159
\end{equation}

Multipliquem tot per 2 per eliminar els decimals:
\begin{equation}
7,5 \left( 11z + \frac{11y}{2} – 4 \right) + 4,5y + 3(z – 2) = 318
\end{equation}

Desenvolupant i simplificant:
\begin{equation}
82,5z + 41,25y – 30 + 4,5y + 3z – 6 = 318
\end{equation}

\begin{equation}
85,5z + 45,75y = 354
\end{equation}

Ara resolem el sistema d’equacions (4) i (5):

1. \begin{equation}
   24z + 13y = 100
   \end{equation}
2. \begin{equation}
   85,5z + 45,75y = 354
   \end{equation}

La matriu del sistema és:
$$A = \begin{pmatrix}
24 & 13 \\
85,5 & 45,75
\end{pmatrix}$$

El seu determinant és:
$$\text{det}(A) = (24 \times 45,75) – (13 \times 85,5) = 1098 – 1111,5 = -13,5$$

Per trobar $z$ i $y$, calculem les determinades de les matrius $A_z$ i $A_y$.

Per $A_z$, substituïm la columna de la dreta per la columna de resultats:
$$A_z = \begin{pmatrix}
100 & 13 \\
354 & 45,75
\end{pmatrix}$$
$$\text{det}(A_z) = (100 \times 45,75) – (13 \times 354) = 4575 – 4602 = -27$$

Per $A_y$, substituïm la columna de l’esquerra per la columna de resultats:
$$A_y = \begin{pmatrix}
24 & 100 \\
85,5 & 354
\end{pmatrix}$$
$$\text{det}(A_y) = (24 \times 354) – (100 \times 85,5) = 8496 – 8550 = -54$$

Ara podem trobar $z$ i $y$:

\begin{equation}
z = \frac{\text{det}(A_z)}{\text{det}(A)} = \frac{-27}{-13,5} = 2
\end{equation}

\begin{equation}
y = \frac{\text{det}(A_y)}{\text{det}(A)} = \frac{-54}{-13,5} = 4
\end{equation}

Finalment, substituïm aquests valors a l’equació $x + y + z = 50$ per trobar $x$:

\begin{equation}
x + 4 + 2 = 50
\end{equation}
\begin{equation}
x = 50 – 6 = 44
\end{equation}

Per tant, els bolígrafs inicials eren:

• Bolígrafs blaus $x$: 44
• Bolígrafs vermells $y$: 4
• Bolígrafs negres $z$: 2