Problema 1 Opció B. Examen juny 2005 de matemàtiques. Selectivitat Illes Balears

Calculau l’àrea del recinte limitat per la corba d’equació $y = x^2 + x + 1$ i la recta d’equació $y = x + 2$.

Per calcular l’àrea del recinte limitat per la corba $y = x^2 + x + 1$ i la recta $y = x + 2$, seguim els següents passos:

1. Trobar els punts d’intersecció

Per trobar els punts d’intersecció entre la corba i la recta, igualem les dues equacions:

\begin{equation}
x^2 + x + 1 = x + 2
\end{equation}

Resolent aquesta equació:

\begin{equation}
x^2 + x + 1 – x – 2 = 0
\end{equation}

\begin{equation}
x^2 – 1 = 0
\end{equation}

\begin{equation}
x^2 = 1
\end{equation}

\begin{equation}
x = \pm 1
\end{equation}

Així que els punts d’intersecció són $x = -1$ i $x = 1$.

2. Establir la fórmula de l’àrea

L’àrea entre les dues corbes es pot calcular mitjançant la integral definida entre els punts d’intersecció, és a dir, entre $x = -1$ i $x = 1$. La fórmula general per a l’àrea és:

\begin{equation}
A = \int_{-1}^{1} \left( (x + 2) – (x^2 + x + 1) \right) \, dx
\end{equation}

Simplifiquem la funció a integrar:

\begin{equation}
A = \int_{-1}^{1} \left( x + 2 – x^2 – x – 1 \right) \, dx
\end{equation}

\begin{equation}
A = \int_{-1}^{1} \left( -x^2 + 1 \right) \, dx
\end{equation}

3. Calcular la integral

Ara calculem la integral:

\begin{equation}
\int_{-1}^{1} \left( -x^2 + 1 \right) \, dx
\end{equation}

Resolent la integral:

\begin{equation}
\int -x^2 \, dx = -\frac{x^3}{3}
\end{equation}

\begin{equation}
\int 1 \, dx = x
\end{equation}

Substituïm els límits:

\begin{equation}
A = \left[ -\frac{x^3}{3} + x \right]_{-1}^{1}
\end{equation}

Substituïm els valors de $x = 1$ i $x = -1$:

\begin{equation}
A = \left( -\frac{1^3}{3} + 1 \right) – \left( -\frac{(-1)^3}{3} + (-1) \right)
\end{equation}

\begin{equation}
A = \left( -\frac{1}{3} + 1 \right) – \left( \frac{1}{3} – 1 \right)
\end{equation}

\begin{equation}
A = \left( \frac{2}{3} \right) – \left( -\frac{2}{3} \right)
\end{equation}

\begin{equation}
A = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}
\end{equation}

Resposta

L’àrea del recinte limitat per la corba $y = x^2 + x + 1$ i la recta $y = x + 2$ és $\frac{4}{3}$ unitats quadrades.