Problema 8. Examen setembre 2022 de Física. Selectivitat Catalunya

A principis dels anys seixanta del segle XX, els físics Robert Pound, Glen Anderson Rebka i Joseph Snider van verificar al Jefferson Physical Laboratory de Harvard la predicció d’Einstein que la gravetat canvia la freqüència de la llum. Entendre aquest efecte és essencial per a la navegació moderna, com per exemple per al funcionament del GPS. L’experiment consistia a mesurar la variació de freqüència d’uns fotons entre dos punts a diferent altura. a) Calculeu la freqüència, la massa (vegeu la nota) i la quantitat de moviment dels fotons al terra del laboratori de l’experiment si tenen una energia de 14,4 keV. b) L’energia mecànica dels fotons és la suma de l’energia dels fotons i de l’energia potencial gravitatòria. A partir del principi de conservació de l’energia mecànica, calculeu la variació (en valor absolut) de l’energia i de la freqüència dels fotons entre dos punts separats verticalment 22,6 m. És a dir, entre el terra del laboratori i un altre punt a la mateixa vertical, 22,6 m més amunt. En quin punt el fotó té una freqüència més gran, quan es troba al terra o quan està 22,6 m per sobre del terra?

Tot i que la massa en repòs d’un fotó és zero, la seva massa efectiva quan és atret per les altres masses és: \begin{equation} m = \frac{E_{fotó}}{c^2} \end{equation} Dades:

• $1 \text{ eV} = 1,602 \times 10^{-19} \text{ J}$
• $c = 3,00 \times 10^8 \text{ m/s}$
• $h = 6,63 \times 10^{-34} \text{ Js}$
• $g = 9,81 \text{ m/s}^2$

a) L’energia del fotó en eV és:
\begin{equation}
E_{fotó} = 14,4 \times 10^3 \text{ eV} \times \frac{1,602 \times 10^{-19} \text{ J}}{1 \text{ eV}} = 2,31 \times 10^{-15} \text{ J}
\end{equation}

La freqüència del fotó és:
\begin{equation}
f = \frac{E_{fotó}}{h} = \frac{2,31 \times 10^{-15}}{6,63 \times 10^{-34}} = 3,48 \times 10^{18} \text{ Hz}
\end{equation}

La massa és:
\begin{equation}
m = \frac{E_{fotó}}{c^2} = \frac{2,31 \times 10^{-15}}{(3,00 \times 10^8)^2} = 2,56 \times 10^{-32} \text{ kg}
\end{equation}

I la quantitat de moviment és:
\begin{equation}
p = mc = (2,56 \times 10^{-32}) \times (3,00 \times 10^8) = 7,69 \times 10^{-24} \text{ kg} \cdot \text{m/s}
\end{equation}

b) L’energia mecànica d’un fotó és la suma de l’energia cinètica i potencial gravitatòria:
\begin{equation}
E_m = E_P + E_C = mg h + h f
\end{equation}

Si imposem la conservació de l’energia, tenim que la diferència d’energia dels fotons és:
\begin{equation}
E_{m,0} = E_{m,f} \Rightarrow mg h_0 + h f_0 = mg h_f + h f_f
\end{equation}
\begin{equation}
\Delta E_{fotó} = h f_f – h f_0 = mg h_0 – mg h_f = 5,68 \times 10^{-30} \text{ J}
\end{equation}

Hem considerat com a punt inicial el punt elevat i, com a punt final, el punt més baix, per obtenir una variació positiva. En tot cas, el signe no és rellevant, atès que es demana el valor absolut de la variació d’energia i freqüència.

I la variació de la freqüència és:
\begin{equation}
\Delta f = \frac{\Delta E_{fotó}}{h} = \frac{5,68 \times 10^{-30}}{6,63 \times 10^{-34}} = 8,570 \times 10^3 \text{ Hz}
\end{equation}

Atès que l’energia mecànica és la mateixa, i l’energia potencial gravitatòria és més gran en el punt elevat, l’energia del fotó i la seva freqüència seran més petites al punt més elevat. Per tant, el fotó té una freqüència més gran quan està a terra.