Problema 2. Examen juliol 2018 de matemàtiques aplicades a les ciències socials. Selectivitat País Valencià

Els ingressos i costos anuals, en milers d’euros, d’una fàbrica de motxilles vénen donats, respectivament, per les funcions $I(x) = 4x – 9$, $C(x) = 0.01x^2 + 3x$ on la variable $x$ expressa en euros el preu de venda d’una motxilla. Es demana: a) Calcula la funció de beneficis. b) Quin ha de ser el preu de venda $x$ perquè el benefici siga màxim? Quin és aquest benefici màxim? c) Amb la funció de beneficis, determina els punts de tall amb els eixos i les zones de creixement i decreixement. Representa gràficament aquesta funció. d) Raona per a quins preus de venda (valors de $x$) l’empresa tindria pèrdues.

Les funcions són:

• Ingressos: $I(x) = 4x – 9$
• Costos: $C(x) = 0.01x^2 + 3x$

a) Funció de beneficis

$B(x) = I(x) – C(x)$

Substituint les funcions: $B(x) = (4x – 9) – (0.01x^2 + 3x)$; $B(x) = 4x – 9 – 0.01x^2 – 3x$; $B(x) = -0.01x^2 + x – 9$

b) Benefici màxim

Derivem $B(x)$: $B'(x) = -0.02x + 1$

Igualem a zero per trobar el punt crític: $-0.02x + 1 = 0$; $x = \frac{1}{0.02} = 50$

El preu òptim és $x = 50$ €.

Ara substituïm $x = 50$ a $B(x)$ per trobar el benefici màxim: $$B(50) = -0.01(50)^2 + (50) – 9= -0.01(2500) + 50 – 9 = -25 + 50 – 9 = 16$$

El benefici màxim és $16$ milers d’euros ($16.000$ €).

c) Punts de tall i intervals de creixement/decreixement

• Punts de tall amb els eixos:
  • $B(x) = 0 \Rightarrow -0.01x^2 + x – 9 = 0$
  • Resolem amb la fórmula de les equacions de segon grau: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{(1)^2 – 4(-0.01)(-9)}}{2(-0.01)}$; $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 – 0.36}}{-0.02} x=−1±0.64−0.02x = \frac{-1 \pm \sqrt{0.64}}{-0.02}$; $x = \frac{-1 \pm 0.8}{-0.02}$; $x_1 = \frac{-1 + 0.8}{-0.02} = \frac{-0.2}{-0.02} = 10$; $x_2 = \frac{-1 – 0.8}{-0.02} = \frac{-1.8}{-0.02} = 90$
  • Per tant, els punts de tall amb l’eix $x$ són $x = 10$ i $x = 90$.
• Creixement i decreixement:
  • La funció creix per $10 < x < 50$.
  • La funció decreix per $x > 50$.

d) Quan hi ha pèrdues?

L’empresa té pèrdues quan $B(x) < 0$, és a dir:

• Quan $x < 10$ (preus massa baixos).
• Quan $x > 90$ (preus massa alts).

L’empresa obté beneficis si el preu de venda està entre $10$ € i $90$ €.

Aquí tens la gràfica de la funció de beneficis $B(x) = -0.01x^2 + x – 9$.

Conclusió:

• El benefici és màxim a $x = 50$ €.
• L’empresa té beneficis si el preu està entre $10$ € i $90$ €.
• Si el preu és massa baix ($< 10$ €) o massa alt ($> 90$ €), hi ha pèrdues.