Problema sobre lents

Una lent convergent amb una distància focal de $f = 10$ cm s’utilitza per formar la imatge d’un objecte lluminós lineal col·locat perpendicularment al seu eix òptic i amb una mida de $y = 1$ cm. a) On s’ha de col·locar l’objecte perquè la seva imatge es formi a $s’ = 14$ cm darrere de la lent? Quina és la naturalesa i la mida d’aquesta imatge? b) On s’ha de col·locar l’objecte perquè la seva imatge es formi a $s’ = 8$ cm davant de la lent? Quina és la naturalesa i la mida d’aquesta imatge?

La fórmula de les lents primes és: \begin{equation} \frac{1}{f} = \frac{1}{s} + \frac{1}{s’} \end{equation} on:

• $f$ és la distància focal de la lent.
• $s$ és la posició de l’objecte.
• $s’$ és la posició de la imatge.

a) Imatge situada a $14$ cm darrere de la lent Substituïm els valors a l’equació: \begin{equation} \frac{1}{10} = \frac{1}{s} + \frac{1}{14} \end{equation} \begin{equation} \frac{1}{s} = \frac{1}{10} – \frac{1}{14} \end{equation} \begin{equation} \frac{1}{s} = \frac{14 – 10}{140} = \frac{4}{140} = \frac{2}{70} = \frac{1}{35} \end{equation} \begin{equation} s = 35 \text{ cm} \end{equation} La imatge és real i invertida, ja que $s’ > 0$. El factor d’augment és: \begin{equation} m = \frac{-s’}{s} = \frac{-14}{35} = -0.4 \end{equation} La mida de la imatge és: \begin{equation} y’ = m \cdot y = (-0.4) \cdot 1 = -0.4 \text{ cm} \end{equation} Conclusió: La imatge és $\textbf{real}$, $\textbf{invertida}$ i $\textbf{menor}$ que l’objecte.

b) Imatge situada a $8$ cm davant de la lent Com que la imatge està davant de la lent, és virtual ($s’ < 0$). L’equació de la lent queda: \begin{equation} \frac{1}{10} = \frac{1}{s} + \frac{1}{-8} \end{equation} \begin{equation} \frac{1}{s} = \frac{1}{10} – \frac{1}{-8} \end{equation} \begin{equation} \frac{1}{s} = \frac{8 + 10}{80} = \frac{18}{80} = \frac{9}{40} \end{equation} \begin{equation} s = 40/9 \approx 4.44 \text{ cm} \end{equation} El factor d’augment és: \begin{equation} m = \frac{-s’}{s} = \frac{-(-8)}{4.44} = \frac{8}{4.44} \approx 1.8 \end{equation} La mida de la imatge és: \begin{equation} y’ = m \cdot y = 1.8 \cdot 1 = 1.8 \text{ cm} \end{equation}

Conclusió: La imatge és $\textbf{virtual}$, $\textbf{dreta}$ i $\textbf{més gran}$ que l’objecte.