Posició relativa de dues rectes

Considereu les següents rectes: $$r: \frac{x-5}{1}=\frac{y-6}{1}=\frac{z+1}{1},\quad s: \: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1}$$

a) Estudiar la posició relativa de les dues rectes.
b) En cas que les rectes es tallin, calculeu el pla que les conté i l’angle que formen. Si les rectes es creuen, calculeu la perpendicular comuna a totes dues.

a) Estudiarem la posició relativa utilitzant el mètode dels vectors.

Obtenim un vector director de cada recta:
$$r: \: \frac{x-5}{1}=\frac{y-6}{1}=\frac{z+1}{1} \longrightarrow \vec{v_r}=(1,1,1)$$
$$s: \: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1} \longrightarrow \vec{v_s}=(1,1,-1)$$

Ara necessitem un tercer vector format per un punt de cada recta:

• De la recta (r): (A(5,6,-1)),
• De la recta (s): (B(1,0,-1)).

El vector que connecta aquests punts és:
$$\vec{AB} = (-4,-6,0)$$

Amb els tres vectors formem una matriu i analitzem el seu rang:
$$M=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & -1 \\
-4 & -6 & 0
\end{pmatrix}$$

El determinant de la matriu és:
$$|M| = -4 \neq 0 \longrightarrow \text{rg}(M) = 3.$$

Com que el rang és $3$, les rectes es creuen.

b) Necessitem un punt genèric de cadascuna de les rectes. Per això escrivim les equacions paramètriques:

$$r: \: \frac{x-5}{1}=\frac{y-6}{1}=\frac{z+1}{1} \longrightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
x=5+\lambda \\
y=6+\lambda \\
z=-1+\lambda
\end{array}
\right.$$
El punt genèric de $r$ és:
$$A(5+\lambda, 6+\lambda, -1+\lambda)$$

$$s: \: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1} \longrightarrow
\left\{
\begin{array}{l}
x=1+\mu \\
y=0+\mu \\
z=-1-\mu
\end{array}
\right.$$
El punt genèric de $s$ és:
$$B(1+\mu, 0+\mu, -1-\mu)$$

El vector $\vec{AB}$ és:
$$\vec{AB} = \left( 1+\mu-(5+\lambda), \mu-(6+\lambda), -1-\mu-(-1+\lambda) \right)$$

$$\vec{AB} =( \mu-\lambda-4, \mu-\lambda-6, -\mu-\lambda )$$

El vector $\vec{AB}$ ha de ser perpendicular als vectors directors de les dues rectes:
$$\vec{AB} \perp \vec{v_r} \longrightarrow \vec{AB} \cdot \vec{v_r} = 0$$
$$\vec{AB} \perp \vec{v_s} \longrightarrow \vec{AB} \cdot \vec{v_s} = 0$$

Substituint:
$$(\mu-\lambda-4) \cdot 1 + (\mu-\lambda-6) \cdot 1 + (-\mu-\lambda) \cdot 1= 0$$
$$(\mu-\lambda-4) \cdot 1 + (\mu-\lambda-6) \cdot 1 + (-\mu-\lambda) \cdot (-1)= 0$$

Simplificant, obtenim el sistema:
$$\left\{
\begin{array}{l}
\mu – 3 \lambda -10 = 0 \\
3 \mu – \lambda -10 = 0
\end{array}
\right.$$

Resolem el sistema:
$$\lambda = \frac{-5}{2}, \quad \mu = \frac{5}{2}$$

El vector $\vec{AB}$ és:
$$\vec{AB} =\left( \frac{5}{2}-\frac{-5}{2}-4, \frac{5}{2}-\frac{-5}{2}-6, -\frac{5}{2}-\frac{-5}{2} \right)$$
$$\vec{AB} =\left( 1, -1, 0 \right)$$

El punt $A$ és:
$$A\left(\frac{5}{2}, \frac{7}{2}, \frac{-7}{2} \right)$$

Amb el vector i el punt, podem definir l’equació de la perpendicular comuna:
$$\left\{
\begin{array}{l}
x= \frac{5}{2}+t \\
y= \frac{7}{2}-t \\
z= \frac{-7}{2}
\end{array}
\right.$$

b) Alternativament, podem utilitzar el vector $\vec{v_r} \times \vec{v_s}$ com a vector director de la perpendicular comuna.

$$\vec{v_r} \times \vec{v_s} = (-2,2,0), \quad \vec{w} = (-1,1,0)$$

Hallant la intersecció de dos plans que contenen cadascuna de les rectes i són paral·lels a $\vec{w}$, obtenim:
$$\pi_1: -x-y+2z+13=0, \quad \pi_2: x+y+2z+1=0$$

Les equacions de la perpendicular comuna en forma implícita són:
$$\left\{
\begin{array}{l}
-x-y+2z+13=0 \\
x+y+2z+1=0
\end{array}
\right.$$