Càlcul dels valors de m per a la intersecció i l’angle de 30º entre una recta variable i un pla

Atès el pla $\pi$: $y + z = 3$ i la recta variable $r$: $\frac{x – 3}{1} = \frac{y + 1}{m} = \frac{1 – z}{-1}$, calcula els valors de $m$ perquè:
a) $r$ talli $\pi$.
b) L’angle entre $r$ i $\pi$ sigui de $30$º.

a) Si la recta $r$ i el pla $\pi$ es tallen, aleshores el vector director $\vec{v_r} = (1, m, -1)$ de $r$ i el vector normal $\vec{n} = (0, 1, 1)$ de $\pi$ no seran perpendiculars. En conseqüència, el seu producte escalar no serà $0$.
$$\vec{v_r} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 0 + m \cdot 1 + (-1) \cdot 1 \neq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad m \neq 1.$$

b) Si la recta i el pla formen un angle de $30$º, aleshores els vectors $\vec{v_r}$ i $\vec{n}$ formaran un angle de $60$º, i es complirà:
$$\cos 60^\circ = \cos(\angle(\vec{v_r}, \vec{n})) = \frac{|\vec{v_r} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v_r}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|1 \cdot 0 + m \cdot 1 + (-1) \cdot 1|}{\sqrt{m^2 + 2} \cdot \sqrt{2}} \Longleftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{|m – 1|}{\sqrt{m^2 + 2} \cdot \sqrt{2}}.$$
Elevem al quadrat i fem les operacions per arribar a l’equació de segon grau:
$$m^2 – 4m = 0,$$
que té per solucions $m = 0$ i $m = 4$.

Resum:

• a) La recta talla el pla per a $m \neq 1$.
• b) L’angle entre la recta i el pla és de $30$º quan $m = 0$ o $m = 4$.