discussió sistema d’equacions

Donat el sistema d’equacions \(\begin{cases} 2x + ay + (a + 1)z = 1 \\ x – 4y + 2z = 0 \\ 4y – az = 0 \end{cases}\), es demana: a) Discutir-lo en funció dels valors del paràmetre real \(a\). b) Resoldre’l en el cas \(a = 1\). c) Resoldre’l en el cas \(a = 2\).

Per resoldre el sistema d’equacions lineals donat, $\begin{cases} 2x + ay + (a + 1)z = 1 \\ x – 4y + 2z = 0 \\ 4y – az = 0 \end{cases}$, analitzarem el problema pas a pas per abordar les tres parts demanades: discutir el sistema en funció del paràmetre (a), resoldre’l per $a = 1$, i resoldre’l per $a = 2$.

a) Discutir el sistema en funció dels valors del paràmetre real (a)

Per discutir el sistema, hem d’analitzar la seva compatibilitat, és a dir, determinar per quins valors de (a) el sistema té una única solució, infinites solucions, o cap solució. Això es pot fer utilitzant el teorema de Rouché-Frobenius, que relaciona el rang de la matriu de coeficients (A) amb el rang de la matriu ampliada ([A|B]).

Matriu de coeficients i matriu ampliada

La matriu de coeficients $A$ i el vector de termes independents $B$ són:
$$A = \begin{pmatrix}
2 & a & a + 1 \\
1 & -4 & 2 \\
0 & 4 & -a
\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}, \quad [A|B] = \begin{pmatrix}
2 & a & a + 1 & | & 1 \\
1 & -4 & 2 & | & 0 \\
0 & 4 & -a & | & 0
\end{pmatrix}.$$

El sistema és compatible si $\text{rang}(A) = \text{rang}([A|B])$. Si a més $\text{rang}(A) = 3$ (nombre de variables), el sistema té una única solució (compatible determinat). Si $\text{rang}(A) < 3$, pot tenir infinites solucions (compatible indeterminat) o cap solució (incompatible).

Càlcul del determinant de (A)

Per determinar els casos, calculem el determinant de (A) per saber quan $\text{rang}(A) = 3$. Si $\det(A) \neq 0$, el sistema és compatible determinat. Calculem:
$$\det(A) = \begin{vmatrix}
2 & a & a + 1 \\
1 & -4 & 2 \\
0 & 4 & -a
\end{vmatrix}.$$
Expandim per la tercera fila (que conté un zero):
$$\det(A) = 0 \cdot C_{31} + 4 \cdot C_{32} + (-a) \cdot C_{33},$$
on $C_{ij}$ són els cofactors. Calculem els cofactors rellevants:

• $C_{32} = (-1)^{3+2} \cdot \begin{vmatrix} 2 & a + 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = – (2 \cdot 2 – (a + 1) \cdot 1) = – (4 – a – 1) = – (3 – a) = a – 3$.
• $C_{33} = (-1)^{3+3} \cdot \begin{vmatrix} 2 & a \\ 1 & -4 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-4) – a \cdot 1 = -8 – a$.

Així:
$$\det(A) = 4 \cdot (a – 3) + (-a) \cdot (-8 – a) = 4a – 12 + 8a + a^2 = a^2 + 12a – 12.$$
Igualem a zero per trobar els valors crítics:
$$a^2 + 12a – 12 = 0.$$
Resolem l’equació quadràtica:
$$a = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 48}}{2} = \frac{-12 \pm \sqrt{192}}{2} = \frac{-12 \pm 8\sqrt{3}}{2} = -6 \pm 4\sqrt{3}.$$
Aproximadament, $a \approx -6 + 4\sqrt{3} \approx 0.928$ i $a \approx -6 – 4\sqrt{3} \approx -12.928$. Per tant, $\det(A) = 0$ quan $a = -6 \pm 4\sqrt{3}$.

Anàlisi dels casos

1. Cas 1: $\det(A) \neq 0$, és a dir, $a \neq -6 \pm 4\sqrt{3}$
   Si $\det(A) \neq 0$, el rang de $A$ és $3$. Com que la matriu ampliada $[A|B]$ inclou una columna addicional, el seu rang és almenys igual al de $A$, però no pot ser més gran que $3$ (ja que té 3 files). Per tant, $\text{rang}(A) = \text{rang}([A|B]) = 3$, i el sistema és compatible determinat (una única solució).
2. Cas 2: $\det(A) = 0$, és a dir, $a = -6 \pm 4\sqrt{3}$
   Quan $\det(A) = 0$, el rang de $A$ és menor que $3$. Hem d’analitzar el rang de $A$ i $[A|B]$ per determinar si el sistema és compatible indeterminat (infinites solucions) o incompatible (cap solució). Això ho farem resolent el sistema amb la matriu ampliada mitjançant eliminació gaussiana. Considerem la matriu ampliada i apliquem eliminació gaussiana:
   $$[A|B] = \begin{pmatrix}
   2 & a & a + 1 & | & 1 \\
   1 & -4 & 2 & | & 0 \\
   0 & 4 & -a & | & 0
   \end{pmatrix}.$$

• Intercanviem la primera i segona fila per simplificar:
  $$\begin{pmatrix}
  1 & -4 & 2 & | & 0 \\
  2 & a & a + 1 & | & 1 \\
  0 & 4 & -a & | & 0
  \end{pmatrix}.$$
• Eliminem la segona fila: $F_2 \gets F_2 – 2F_1$:
  $$F_2: (2, a, a + 1, 1) – 2(1, -4, 2, 0) = (0, a + 8, a + 1 – 4, 1) = (0, a + 8, a – 3, 1).$$
  La matriu esdevé:
  $$\begin{pmatrix}
  1 & -4 & 2 & | & 0 \\
  0 & a + 8 & a – 3 & | & 1 \\
  0 & 4 & -a & | & 0
  \end{pmatrix}.$$
• Eliminem la tercera fila respecte a la segona. Primer, fem que el pivot de la segona fila sigui 1 (si $a + 8 \neq 0$) dividint per $a + 8$:
  $$F_2 \gets \frac{F_2}{a + 8}: \left(0, 1, \frac{a – 3}{a + 8}, \frac{1}{a + 8}\right).$$
• Ara, $F_3 \gets F_3 – 4F_2$:
  $$F_3: (0, 4, -a, 0) – 4 \cdot \left(0, 1, \frac{a – 3}{a + 8}, \frac{1}{a + 8}\right) = \left(0, 0, -a – 4 \cdot \frac{a – 3}{a + 8}, – \frac{4}{a + 8}\right).$$
  Calculem el coeficient de $z$:
  $$-a – 4 \cdot \frac{a – 3}{a + 8} = \frac{-a(a + 8) – 4(a – 3)}{a + 8} = \frac{-a^2 – 8a – 4a + 12}{a + 8} = \frac{-a^2 – 12a + 12}{a + 8} = \frac{-(a^2 + 12a – 12)}{a + 8}.$$
  Com que $a^2 + 12a – 12 = 0$ quan $a = -6 \pm 4\sqrt{3}$, el numerador és zero, i per tant el coeficient de $z$ és:
  $$\frac{-(0)}{a + 8} = 0.$$
  El terme independent és $-\frac{4}{a + 8}$. Hem de comprovar si $a + 8 = 0$, però $a = -6 \pm 4\sqrt{3} \approx 0.928$ o $-12.928$, cap dels quals és $-8$. Així, $-\frac{4}{a + 8} \neq 0$, i la tercera fila esdevé:
  $$(0, 0, 0, -\frac{4}{a + 8}).$$
  Aquesta fila indica $0 = -\frac{4}{a + 8}$, que és una contradicció perquè $a + 8 \neq 0$. Per tant, $\text{rang}([A|B]) = 3$, mentre que $\text{rang}(A) < 3$, i el sistema és incompatible (cap solució) per $a = -6 \pm 4\sqrt{3}$.

1. Resum de la discussió:

• Si $a \neq -6 \pm 4\sqrt{3}$, el sistema és compatible determinat (una única solució).
• Si $a = -6 \pm 4\sqrt{3}$, el sistema és incompatible (cap solució).

b) Resoldre el sistema per $a = 1$

Substituïm $a = 1$ al sistema:
$$\begin{cases}
2x + y + 2z = 1 \\
x – 4y + 2z = 0 \\
4y – z = 0
\end{cases}.$$
De la tercera equació, $4y – z = 0 \implies z = 4y$. Substituïm $z = 4y$ a les altres dues equacions:

• Primera: $2x + y + 2(4y) = 2x + y + 8y = 2x + 9y = 1$.
• Segona: $x – 4y + 2(4y) = x – 4y + 8y = x + 4y = 0$.

Així, tenim el sistema reduït:
$$\begin{cases}
2x + 9y = 1 \\
x + 4y = 0
\end{cases}.$$
De la segona, $x = -4y$. Substituïm a la primera:
$$2(-4y) + 9y = -8y + 9y = y = 1 \implies y = 1.$$
Llavors, $x = -4 \cdot 1 = -4$, i $z = 4y = 4 \cdot 1 = 4$. La solució és:
$$(x, y, z) = (-4, 1, 4).$$
Comprovació:

• $2(-4) + 1 + 2 \cdot 4 = -8 + 1 + 8 = 1$.
• $-4 – 4 \cdot 1 + 2 \cdot 4 = -4 – 4 + 8 = 0$.
• $4 \cdot 1 – 4 = 0$.

La solució és correcta.

c) Resoldre el sistema per $a = 2$

Substituïm $a = 2$:
$$\begin{cases}
2x + 2y + 3z = 1 \\
x – 4y + 2z = 0 \\
4y – 2z = 0
\end{cases}.$$
De la tercera equació, $4y – 2z = 0 \implies 2y = z \implies z = 2y$. Substituïm $z = 2y$ a les altres:

• Primera: $2x + 2y + 3(2y) = 2x + 2y + 6y = 2x + 8y = 1$.
• Segona: $x – 4y + 2(2y) = x – 4y + 4y = x = 0$.

Així, $x = 0$. Substituïm $x = 0$ a la primera equació reduïda:
$$2 \cdot 0 + 8y = 8y = 1 \implies y = \frac{1}{8}.$$
Llavors, $z = 2y = 2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$. La solució és:
$$(x, y, z) = \left(0, \frac{1}{8}, \frac{1}{4}\right).$$
Comprovació:

• $2 \cdot 0 + 2 \cdot \frac{1}{8} + 3 \cdot \frac{1}{4} = 0 + \frac{2}{8} + \frac{3}{4} = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$.
• $0 – 4 \cdot \frac{1}{8} + 2 \cdot \frac{1}{4} = -\frac{4}{8} + \frac{2}{4} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$.
• $4 \cdot \frac{1}{8} – \frac{1}{4} = \frac{4}{8} – \frac{2}{8} = \frac{2}{8} – \frac{2}{8} = 0$.

La solució és correcta.

Resposta final

a) Discussió:

• Si $a \neq -6 \pm 4\sqrt{3}$, el sistema és compatible determinat (una única solució).
• Si $a = -6 \pm 4\sqrt{3}$, el sistema és incompatible (cap solució).

b) Per $a = 1$, la solució és:
$$\boxed{(-4, 1, 4)}$$

c) Per $a = 2$, la solució és:
$$\boxed{\left(0, \frac{1}{8}, \frac{1}{4}\right)}$$