Resolució de problemes amb vectors

Considerem els vectors $\vec{u} = (1, -4, a)$, $\vec{v} = (5, -8, 3)$ i $\vec{w} = (-5, 2, 3)$. a) Trobeu el valor d’$a$ per tal que $\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\vec{w}$ siguin linealment dependents. b) Expresseu $\vec{u}$ com a combinació lineal de $\vec{v}$ i $\vec{w}$ per al valor que heu trobat a l’apartat anterior. c) Trobeu les equacions implícites de la recta que passa pel punt $A(1, -1, 2)$, tal que la seva direcció és perpendicular a les dels vectors $\vec{v}$ i $\vec{w}$.

$\textbf{a)}$ Perquè els vectors $\vec{u}$, $\vec{v}$ i $\vec{w}$ siguin linealment dependents, el determinant de la matriu formada pels seus components ha de ser zero. La matriu és:

$$\begin{pmatrix}
1 & -4 & a \\
5 & -8 & 3 \\
-5 & 2 & 3
\end{pmatrix}$$

Calculem el determinant:

$$\text{det} = 1 \cdot \begin{vmatrix} -8 & 3 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} – (-4) \cdot \begin{vmatrix} 5 & 3 \\ -5 & 3 \end{vmatrix} + a \cdot \begin{vmatrix} 5 & -8 \\ -5 & 2 \end{vmatrix}$$

• Primer terme: $\begin{vmatrix} -8 & 3 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = (-8)(3) – (3)(2) = -24 – 6 = -30$
• Segon terme: $\begin{vmatrix} 5 & 3 \\ -5 & 3 \end{vmatrix} = (5)(3) – (3)(-5) = 15 + 15 = 30$
• Tercer terme: $\begin{vmatrix} 5 & -8 \\ -5 & 2 \end{vmatrix} = (5)(2) – (-8)(-5) = 10 – 40 = -30$

Així, el determinant és:

$$\text{det} = 1 \cdot (-30) – (-4) \cdot 30 + a \cdot (-30) = -30 + 120 – 30a = 90 – 30a$$

Perquè siguin linealment dependents, $\text{det} = 0$:

$$90 – 30a = 0 \implies 30a = 90 \implies a = 3$$

$\textbf{Resposta:}$ $a = 3$.

$\textbf{b)}$ Amb $a = 3$, tenim $\vec{u} = (1, -4, 3)$. Per expressar $\vec{u}$ com a combinació lineal de $\vec{v}$ i $\vec{w}$, hem de trobar escalars $k$ i $m$ tals que:

$$\vec{u} = k\vec{v} + m\vec{w}$$

És a dir:

$$(1, -4, 3) = k(5, -8, 3) + m(-5, 2, 3)$$

Això genera el sistema d’equacions:

$$\begin{cases} 5k – 5m = 1 \\ -8k + 2m = -4 \\ 3k + 3m = 3\end{cases}$$

Simplifiquem la tercera equació dividint per $3$:

$$k + m = 1 \quad (3′)$$

De l’equació (3′), tenim $m = 1 – k$. Substituïm a la primera equació:

$$5k – 5(1 – k) = 1 \implies 5k – 5 + 5k = 1 \implies 10k – 5 = 1 \implies 10k = 6 \implies k = \frac{3}{5}$$

Ara, calculem $m$:

$$m = 1 – k = 1 – \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$$

Verifiquem amb la segona equació:

$$-8k + 2m = -8 \cdot \frac{3}{5} + 2 \cdot \frac{2}{5} = -\frac{24}{5} + \frac{4}{5} = -\frac{20}{5} = -4$$

La combinació és correcta. Per tant:

$$\vec{u} = \frac{3}{5}\vec{v} + \frac{2}{5}\vec{w}$$

$\textbf{Resposta:}$ $\vec{u} = \frac{3}{5}\vec{v} + \frac{2}{5}\vec{w}$.

$\textbf{c)}$ Per trobar les equacions implícites de la recta que passa pel punt $A(1, -1, 2)$ i és perpendicular als vectors $\vec{v} = (5, -8, 3)$ i $\vec{w} = (-5, 2, 3)$, necessitem un vector director perpendicular a $\vec{v}$ i $\vec{w}$. Això es fa amb el producte vectorial $\vec{v} \times \vec{w}$:

$$\vec{v} \times \vec{w} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
5 & -8 & 3 \\
-5 & 2 & 3
\end{vmatrix}$$

• Component $\mathbf{i}): ((-8)(3) – (3)(2) = -24 – 6 = -30$
• Component $\mathbf{j}): (-((5)(3) – (3)(-5)) = -(15 + 15) = -30$
• Component $\mathbf{k}): ((5)(2) – (-8)(-5) = 10 – 40 = -30$

Així, el vector director és:

$$\vec{d} = (-30, -30, -30) = -30(1, 1, 1)$$

Podem prendre $(1, 1, 1)$ com a vector director simplificat. Les equacions paramètriques de la recta que passa per $A(1, -1, 2)$ amb vector director $(1, 1, 1)$ són:

$$x = 1 + t, \quad y = -1 + t, \quad z = 2 + t$$

Per obtenir les equacions implícites, eliminem el paràmetre $t$. De les equacions:

$$x – 1 = t, \quad y + 1 = t, \quad z – 2 = t$$

Igualem:

$$x – 1 = y + 1 \implies x – y – 2 = 0$$
$$y + 1 = z – 2 \implies y – z + 3 = 0$$

Les equacions implícites de la recta són:

$$\begin{cases}x – y – 2 = 0 \\ y – z + 3 = 0\end{cases}$$

$\textbf{Resposta:}$ Les equacions implícites de la recta són $\begin{cases}x – y – 2 = 0 \\ y – z + 3 = 0\end{cases}$.