Problema 1. Examen selectivitat matemàtiques 2015 SÈRIE 1. Catalunya

Sigui $V = {(-1, 1, 1), (-2, -1, 0), (1, 2, a)}$ un conjunt de vectors de $\mathbb{R}^3$. a) Trobeu el valor o valors de $a$ perquè $V$ sigui linealment dependent. b) Quan $a = 4$, expresseu el vector $\vec{v} = (3, 9, 14)$ com a combinació lineal dels vectors de $V$.

(a) Hi ha diferents formes de comprovar la dependència lineal de $V$. Per exemple, podem calcular el determinant de la matriu formada pels tres vectors,

$$A = \begin{pmatrix}
-1 & -2 & 1 \\
1 & 0 & 2 \\
1 & a & a
\end{pmatrix}\Longrightarrow \text{det} A = 3a – 3.$$

Aquest determinant val zero si i només si el conjunt $V$ és linealment dependent. Com que l’equació $3a – 3 = 0$ té per solució $a = 1$, aquest és el valor demanat.

Podem buscar també el rang de la matriu $A$, que hauria de ser menor que $3$ si volem que el conjunt $V$ sigui linealment dependent.

$$\begin{pmatrix}
-1 & -2 & 1 \\
1 & -1 & 2 \\
1 & a & a
\end{pmatrix} \stackrel{(1)}{\rightarrow} \begin{pmatrix}
-1 & -2 & 1 \\
0 & -3 & 3 \\
0 & a+1 & a+1
\end{pmatrix} \stackrel{(2)}{\rightarrow} \begin{pmatrix}
-1 & -2 & 1 \\
0 & -1 & 1 \\
0 & a+1 & a+1
\end{pmatrix} \stackrel{(3)}{\rightarrow} \begin{pmatrix}
-1 & -2 & 1 \\
0 & -1 & 1 \\
0 & 0 & a-1
\end{pmatrix}.$$

Les transformacions elementals realitzades han estat: (1) $F_2 + F_1$, $F_3 + F_1$; (2) $F_2/3$; (3) $F_3 – 2F_2$.

El rang de la matriu $A$ és diferent de tres si i només si $a = 1$.

Un altre camí de resolució és utilitzar directament la definició de conjunt linealment dependent. Cal plantejar l’equació vectorial

$$\alpha(-1, 1, 1) + \beta(-2, -1, 0) + \gamma(1, 2, a) = (0, 0, 0).$$

Si podem trobar valors per a les variables $\alpha, \beta, \gamma$ que no siguin tots nuls, el conjunt $V$ serà linealment dependent. Ens queda el sistema

$$\begin{cases}
-\alpha – 2\beta + \gamma = 0 \\
\alpha – \beta + 2\gamma = 0 \\
\alpha + a\gamma = 0
\end{cases}$$

De la tercera equació en traiem que $\alpha = -a\gamma$. Portant aquest valor a les altres dues,

$$\begin{cases}
-2\beta + (a + 1)\gamma = 0 \\
-\beta + (2 – a)\gamma = 0
\end{cases}$$

Aïllant el valor de $\beta$ a la segona d’aquestes equacions i substituint-lo a la primera obtenim $(-3 + 3a)\gamma = 0$. Com que volem que $\gamma \neq 0$ (si aquesta variable fos nulla també ho serien les altres dues), necessitem que $-3 + 3a = 0$; és a dir, $a = 1$.

La qüestió és pot resoldre també buscant el valor del paràmetre $a$ perquè el tercer vector sigui combinació lineal dels altres dos (amb la qual cosa el conjunt $V$ seria linealment dependent).

$$\alpha(-1, 1, 1) + \beta(-2, -1, 0) = (1, 2, a) \implies \alpha = 1, \beta = -1, a = 1.$$

(b) Plantegem l’equació vectorial $\alpha(-1, 1, 1) + \beta(-2, -1, 0) + \gamma(1, 2, 4) = (3, 9, 14)$, que ens porta a les següents equacions lineals

$$\begin{cases}
-\alpha – 2\beta + \gamma = 3 \\
\alpha – \beta + 2\gamma = 9 \\
\alpha + 4\gamma = 14
\end{cases}$$

Aquest sistema té per solució $\alpha = 2$, $\beta = -1$, $\gamma = 3$. Per tant, la resposta a aquest apartat és

$$\vec{v} = 2(-1, 1, 1) – (-2, -1, 0) + 3(1, 2, 4).$$