Optimització de beneficis en un taller de confecció

En un taller de confecció es disposa de $80$ metres quadrats de tela de cotó i $120$ metres quadrats de tela de llana. Es fabriquen dos tipus de vestits, A i B, amb les següents necessitats de material: Vestit tipus A: $1$ metre quadrat de cotó i $3$ metres quadrats de llana i Vestit tipus B: $2$ metres quadrats de cotó i $2$ metres quadrats de llana. a) Quants vestits de cada tipus s’han de fer per obtenir un benefici total màxim si per cada vestit (sigui del tipus que sigui) es guanyen $30$ euros? b) Quina seria la conclusió a la pregunta anterior si per cada vestit del tipus A es guanyen $30$ euros i, en canvi, per cada un del tipus B només es guanyen $20$ euros?

Sigui $x$ el nombre de vestits del tipus A i $y$ el nombre de vestits del tipus B. Les restriccions del problema són:

• Disponibilitat de cotó: $x + 2y \leq 80$
• Disponibilitat de llana: $3x + 2y \leq 120$
• No negativitat: $x \geq 0$, $y \geq 0$

Aquestes desigualtats defineixen la regió factible del problema.

Apartat a)
La funció de benefici és $P = 30x + 30y$, ja que cada vestit (A o B) genera un benefici de $30$ euros. Reescrivim com $P = 30(x + y)$. Per maximitzar $P$, cal maximitzar $x + y$ dins de la regió factible.

Els punts extrems de la regió factible s’obtenen resolent les interseccions:

1. $(0, 0)$: Intersecció de $x = 0$ i $y = 0$.
2. $(0, 40)$: Intersecció de $x = 0$ i $x + 2y = 80$ ($2y = 80 \implies y = 40$).
3. $(40, 0)$: Intersecció de $y = 0$ i $3x + 2y = 120$ ($3x = 120 \implies x = 40$).
4. $(20, 30)$: Intersecció de $x + 2y = 80$ i $3x + 2y = 120$.

Per trobar $(20, 30)$:
$$3x + 2y = 120 \quad (1)$$
$$x + 2y = 80 \quad (2)$$
Restem (2) de (1): $2x = 40 \implies x = 20$. Substituïm a (2): $20 + 2y = 80 \implies 2y = 60 \implies y = 30$.

Avaluem el benefici $P = 30(x + y)$ als punts extrems:

• $(0, 0)$: $P = 30(0 + 0) = 0$
• $(0, 40)$: $P = 30(0 + 40) = 1200$
• $(40, 0)$: $P = 30(40 + 0) = 1200$
• $(20, 30)$: $P = 30(20 + 30) = 1500$

El benefici màxim és 1500 euros amb $x = 20$ i $y = 30$.

$\textbf{Resposta:}$ S’han de fer 20 vestits del tipus A i 30 del tipus B per obtenir un benefici màxim de 1500 euros.

Apartat b)
La funció de benefici canvia a $P = 30x + 20y$, ja que cada vestit A genera 30 euros i cada vestit B genera 20 euros. Les restriccions romanen iguals.

Avaluem $P = 30x + 20y$ als punts extrems:

• $(0, 0)$: $P = 30(0) + 20(0) = 0$
• $(0, 40)$: $P = 30(0) + 20(40) = 800$
• $(40, 0)$: $P = 30(40) + 20(0) = 1200$
• $(20, 30)$: $P = 30(20) + 20(30) = 600 + 600 = 1200$

El benefici màxim és $1200$ euros, aconseguit a $(40, 0)$ i $(20, 30)$.

$\textbf{Resposta:}$ Es poden fer $40$ vestits del tipus A i $0$ del tipus B, o bé $20$ vestits del tipus A i $30$ del tipus B, per obtenir un benefici màxim de $1200$ euros.