Juny de 2000 – Sèrie 1 – Problema 2

Donats el pla $\pi$ d’equació $x + 2y + 3z – 1 = 0$, la recta $r$ d’equacions $\left\lbrace\begin{array}{rrrrr} x&=&2z&–&3 \\ y&=&z&+&4 \end{array}\right.$ i el punt $P = (2, 1, 1)$, calculeu: a) Unes equacions de la recta que passa per $P~$ i és perpendicular a $\pi$. b) L’equació del pla que passa per $P~$ i és perpendicular a la recta $r$. c) Unes equacions de la recta que passa per $P~$ i talla perpendicularment $r$. d) Unes equacions de la recta que passa per $P~$, és paral·lela al pla $\pi$ i tal que el seu vector director és perpendicular al de $r$.

a) Unes equacions de la recta que passa per $P~$ i és perpendicular a $\pi$.

Anomenem a a aquesta recta. Com que $a$ i $\pi$ són perpendiculars podem agafar com a vector director de a el vector normal de $\pi$:

$${\vec{v}}_a={\vec{n}}_{\pi}=(1,2,3)$$

A més sabem que a ha de passar per $P=(2,1,1)$. Podem escriure, per exemple, les equacions contínues de a:

$$a:~~\displaystyle \frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-1}{3}$$

b) L’equació del pla que passa per $P~$ i és perpendicular a la recta $r$.

Anomenem $\beta$ a aquest pla. El seu vector normal coincideix amb el vector director de $r$. I el vector director de $r$ l’obtenim transformant les equacions de l’enunciat en equacions paramètriques:

$$\left\lbrace\begin{array}{rrrrr} x&=&2\lambda&-&3 \\ y&=&\lambda&+&4 \\ z&=&\lambda \end{array}\right.$$

$${\vec{n}}_{\beta}={\vec{v}}_r=(2,1,1)$$

Per tant l’equació del pla \beta serà de la forma $2x+y+z+D=0$. Imposant que el pla contingui al punt P=$(2,1,1)$ podrem calcular $D$.

$$2·2+1+1+D=0 \quad\Rightarrow\quad D=-6$$

I finalment:

$$\beta:~~2x+y+z-6=0$$

c) Unes equacions de la recta que passa per $P~$ i talla perpendicularment $r$.

Anomenem $c$ a aquesta recta. Necessitem conèixer primer el punt $Q=(x,y,z)$, que és el punt de $r$ més proper a $P~$. Per trobar-ho anem a resoldre un sistema de tres equacions, dues d’elles són les equacions de la recta $r$ i l’altra surt d’igualar a zero el producte escalar de $\vec{PQ}$ amb $\vec{v}_r$

$$\vec{PQ}=(x-2,y-1,z-1)$$

$$\vec{v}_r=(2,1,1)$$

$$\vec{PQ}·\vec{v}_r = 0 \Rightarrow (x-2,y-1,z-1)·(2,1,1) = 0 \Rightarrow 2x+y+z-6 = 0$$

La solució del següent sistema ens donarà les coordenades de $Q~$:

$$\left\lbrace\begin{array}{r} x=2z-3 \\ y=z+4 \\2x+y+z-6=0 \end{array}\right.\Rightarrow Q\displaystyle\left(-\frac{1}{3},\frac{16}{3},\frac{4}{3}\right)$$

Una vegada tenim $Q~$, podem agafar el vector $\vec{PQ} = \displaystyle\left(-\frac{7}{3},\frac{13}{3},\frac{1}{3}\right)$, o millor encara el vector $3\cdot\vec{PQ} = (-7,13,1)$ com a vector director de $c$ i el punt $P=(2,1,1)$ com un punt de la recta.

$$c:~~\displaystyle \frac{x-2}{-7} = \frac{y-1}{13} = \frac{z-1}{1}$$

d) Unes equacions de la recta que passa per $P~$, és paral·lela al pla $\pi$ i tal que el seu vector director és perpendicular al de $r$.

Anomenem $d$ a aquesta recta. El seu vector director $\vec{v}_d$ ha de ser ortogonal a $\vec{v}_r$ i a $\vec{n}_{\pi}$. Per tant:

$$\vec{v}_d = \vec{v}_r \times \vec{n}_{\pi} = (1,2,3) \times (2,1,1) = (-1,5,-3)$$

I com que la recta passa pel punt $P=(2,1,1)$:

$$d:~~\displaystyle \frac{x-2}{-1} = \frac{y-1}{5} = \frac{z-1}{-3}$$