LEMNISCATA
Matemàtiques
Considereu els punts $A(1; 0; 1)$, $B(2; 2; 1)$, $C(-1; 4; 3)$ i $D(0;-2; 1)$. a) Estudieu si són coplanaris. b) Calculeu l’àrea del paral·lelogram determinat per $A$, $B$ i $C$.
Per determinar si quatre punts són coplanaris, podem utilitzar el determinant d’un sistema de vectors. Els punts $A$, $B$, $C$ i $D$ són coplanaris si el determinant de la matriu que conté les coordenades dels vectors formats per aquests punts és zero.
$$M = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 0 \\
-2 & 4 & 2 \\
-1 & -2 & 0
\end{pmatrix}$$
$$\text{det}(M) = 1 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} – 2 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} -2 & 4 \\ -1 & -2 \end{vmatrix}$$
Calculant els determinants $2×2$:
$$\begin{vmatrix} 4 & 2 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = (4 \cdot 0) – (2 \cdot -2) = 0 + 4 = 4$$
$$\begin{vmatrix} -2 & 2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = (-2 \cdot 0) – (2 \cdot -1) = 0 + 2 = 2$$
Ara substituïm:
$$\text{det}(M) = 1 \cdot 4 – 2 \cdot 2 + 0 = 4 – 4 = 0$$
Com el determinant és zero, els punts $A$, $B$, $C$ i $D$ són coplanaris.
L’àrea d’un paral·lelogram determinat per dos vectors $\vec{u}$ i $\vec{v}$ es pot calcular amb la norma del producte vectorial:
$$\text{Area} = | \vec{u} \times \vec{v} |$$
On:
$$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
1 & 2 & 0 \\
-2 & 4 & 2
\end{vmatrix}$$
Calculant el determinant:
$$= \hat{i}(2 \cdot 2 – 0 \cdot 4) – \hat{j}(1 \cdot 2 – 0 \cdot -2) + \hat{k}(1 \cdot 4 – 2 \cdot -2)$$
$$= \hat{i}(4) – \hat{j}(2) + \hat{k}(4 + 4)$$
$$= (4, -2, 8)$$
$$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 4 + 64} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}$$
Per tant, l’àrea del paral·lelogram determinat per $A$, $B$ i $C$ és:
$$\text{Area} = 2\sqrt{21}$$
a) Els punts $A$, $B$, $C$ i $D$ són coplanaris.
b) L’àrea del paral·lelogram determinat per $A$, $B$ i $C$ és $2\sqrt{21}$.