Problema de probabilitat de rellotges [2015JunA4]

En una capsa hi ha guardats $20$ rellotges, dels quals n’hi ha $15$ que funcionen correctament. a) Representau mitjançant un diagrama en arbre la situació del problema quan s’extreuen dos rellotges a l’atzar sense reemplaçament. b) Si s’extreu un rellotge a l’atzar, quina és la probabilitat que funcioni bé? c) Si s’extreuen dos rellotges a l’atzar, sense reemplaçament, quina és la probabilitat que tots dos funcionin

a) Diagrama en arbre

Representem el problema amb un diagrama en arbre per a l’extracció de dos rellotges a l’atzar sense reemplaçament.

Hi ha dues opcions per a cada extracció: el rellotge pot funcionar correctament (Bé, “B”) o no funcionar (Malament, “M”). Quan s’extreu un rellotge, el nombre de rellotges disponibles canvia, ja que no es tornen a la capsa.

Pas 1: Primera extracció

• Hi ha $20$ rellotges en total, dels quals $15$ funcionen bé i $5$ no funcionen.
• Per tant, les probabilitats en la primera extracció són:
• $P(\text{Bé}) = \frac{15}{20} = 0.75$
• $P(\text{Malament}) = \frac{5}{20} = 0.25$

Pas 2: Segona extracció

Com que no hi ha reemplaçament, les probabilitats canvien depenent del resultat de la primera extracció.

• Si el primer rellotge funciona bé, en queden $14$ rellotges que funcionen bé i $5$ que no funcionen ($19$ en total).
• $P(\text{Bé}|\text{Bé}) = \frac{14}{19}$
• $P(\text{Malament}|\text{Bé}) = \frac{5}{19}$
• Si el primer rellotge no funciona, en queden $15$ rellotges que funcionen bé i $4$ que no funcionen ($19$ en total).
• $P(\text{Bé}|\text{Malament}) = \frac{15}{19}$
• $P(\text{Malament}|\text{Malament}) = \frac{4}{19}$

Aquí tens el diagrama en arbre corresponent:

               ┌─── Bé (0.75) ──┬── Bé (14/19)
               │                └── Malament (5/19)
Primera extracció
               │
               └─── Malament (0.25) ──┬── Bé (15/19)
                                       └── Malament (4/19)

b) Probabilitat que funcioni bé un rellotge extret a l’atzar

Només s’extreu un rellotge, així que la probabilitat que funcioni correctament és el nombre de rellotges que funcionen bé dividit pel total de rellotges:

$$P(\text{Bé}) = \frac{15}{20} = 0.75$$

c) Probabilitat que tots dos rellotges funcionin bé (sense reemplaçament)

Quan s’extreuen dos rellotges a l’atzar sense reemplaçament, la probabilitat que tots dos funcionin bé es calcula com el producte de les probabilitats condicionals:

1. La probabilitat que el primer rellotge funcioni bé és:
   $$P(\text{Bé}_1) = \frac{15}{20} = 0.75$$
2. Si el primer rellotge ha funcionat bé, la probabilitat que el segon també funcioni bé és:
   $$P(\text{Bé}_2|\text{Bé}_1) = \frac{14}{19}$$

La probabilitat que els dos rellotges funcionin bé és el producte de les dues probabilitats:

$$P(\text{Bé}_1 \cap \text{Bé}_2) = P(\text{Bé}_1) \cdot P(\text{Bé}_2|\text{Bé}_1)$$
$$P(\text{Bé}_1 \cap \text{Bé}_2) = 0.75 \cdot \frac{14}{19} = \frac{105}{190} = 0.5526$$

d) Probabilitat que el segon rellotge tampoc funcioni, si el primer no funciona

Si el primer rellotge no funciona, queden $19$ rellotges, dels quals $4$ no funcionen. La probabilitat que el segon tampoc funcioni és la probabilitat que el segon rellotge sigui defectuós donat que el primer era defectuós:

$$P(\text{Malament}_2|\text{Malament}_1) = \frac{4}{19}$$

Resum final:

a) Diagrama en arbre proporcionat.

b) La probabilitat que un rellotge extret a l’atzar funcioni bé és $P(\text{Bé}) = 0.75$.

c) La probabilitat que els dos rellotges funcionin bé és $P(\text{Bé}_1 \cap \text{Bé}_2) = 0.5526$.

d) La probabilitat que el segon rellotge no funcioni, sabent que el primer tampoc funciona, és $P(\text{Malament}_2|\text{Malament}_1) = \frac{4}{19}$.