Problema probabilitat. Institut de batxillerat.

Problema probabilitat. Institut de batxillerat.
21 d'octubre de 2024 No hi ha comentaris Matemàtiques, Probabilitat Oscar Alex Fernandez Mora

En cert curs de segon de batxillerat d’un IES el $72.5\%$ dels alumnes varen aprovar Matemàtiques. Dels alumnes que varen aprovar Matemàtiques, el $70\%$ va aprovar també Biologia. D’altra banda, el $33.3\%$ dels que no varen aprovar Matemàtiques varen aprovar Biologia. a) Expressau les dades proporcionades com a probabilitats i donau un arbre que representi les dades. b) Quin percentatge va aconseguir aprovar ambdues assignatures alhora? c) Quin va ser el percentatge d’aprovats a l’assignatura de Biologia? d) Si un estudiant no va aprovar Biologia, quina probabilitat hi ha què aprovàs Matemàtiques?

a) Representació de les dades com a probabilitats i arbre

Definim els següents successos:

  • $A$: Aprovar Matemàtiques
  • $B$: Aprovar Biologia

Dades proporcionades:

  • El $72.5\%$ dels alumnes varen aprovar Matemàtiques:
    $$P(A) = 0.725$$
  • Dels alumnes que varen aprovar Matemàtiques, el $70\%$ va aprovar també Biologia:
    $$P(B|A) = 0.70$$
  • El $33.3\%$ dels que no varen aprovar Matemàtiques varen aprovar Biologia:
    $$P(B|A^c) = 0.333$$

On $A^c$ és el complement de $A$ (és a dir, no aprovar Matemàtiques).

Per calcular $P(A^c)$:
$$P(A^c) = 1 – P(A) = 1 – 0.725 = 0.275$$

Diagrama en arbre

L’arbre de probabilitats es pot representar de la següent manera:

                                 (Inici)
                                   |
                              +----+----+
                              |         |
                           P(A)      P(A^c)
                            0.725      0.275
                              |         |
                       +------+--+   +--+------+
                       |         |   |         |
                    P(B|A)    P(B|A^c)     P(B^c|A^c)
                     0.70      0.333     0.667

On:

  • La branca $P(B|A)$ representa el percentatge d’alumnes que aproven Biologia si han aprovat Matemàtiques.
  • La branca $P(B|A^c)$ representa el percentatge d’alumnes que aproven Biologia si no han aprovat Matemàtiques.

b) Percentatge que va aconseguir aprovar ambdues assignatures alhora

Per calcular $P(A \cap B)$, utilitzem la regla de la probabilitat condicional:
$$P(A \cap B) = P(B|A) \cdot P(A)$$
Substituïm els valors:
$$P(A \cap B) = P(B|A) \cdot P(A) = 0.70 \cdot 0.725 = 0.5075$$

Per expressar-ho com a percentatge:
$$P(A \cap B) \times 100 = 0.5075 \times 100 = 50.75\%$$

c) Percentatge d’aprovats a l’assignatura de Biologia

Per calcular $P(B)$ (la probabilitat d’aprovar Biologia), utilitzem la regla de la totalització:
$$P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(A^c) \cdot P(B|A^c)$$
Substituïm els valors:
$$P(B) = 0.725 \cdot 0.70 + 0.275 \cdot 0.333$$
Calculant cada part:

  1. $0.725 \cdot 0.70 = 0.5075$
  2. $0.275 \cdot 0.333 = 0.091725$

Sumant les dues parts:
$$P(B) = 0.5075 + 0.091725 = 0.599225$$

Per expressar-ho com a percentatge:
$$P(B) \times 100 = 0.599225 \times 100 \approx 59.92\%$$

d) Probabilitat que un estudiant que no va aprovar Biologia hagi aprovat Matemàtiques

Volem calcular $P(A|B^c)$ (la probabilitat d’aprovar Matemàtiques donat que no s’ha aprovat Biologia). Utilitzarem la fórmula de Bayes:
$$P(A|B^c) = \frac{P(B^c|A) \cdot P(A)}{P(B^c)}$$

Primer, calculem $P(B^c|A)$:
$$P(B^c|A) = 1 – P(B|A) = 1 – 0.70 = 0.30$$

Ara, calculem $P(B^c)$:
$$P(B^c) = 1 – P(B) = 1 – 0.599225 = 0.400775$$

Ara podem substituir:
$$P(A|B^c) = \frac{P(B^c|A) \cdot P(A)}{P(B^c)} = \frac{0.30 \cdot 0.725}{0.400775}$$

Calculant:
$$P(A|B^c) = \frac{0.2175}{0.400775} \approx 0.5423$$

Per expressar-ho com a percentatge:
$$P(A|B^c) \times 100 \approx 54.23\%$$

Resum de resultats

  • a) Arbre de probabilitats construït.
  • b) Percentatge que va aprovar ambdues assignatures: $50.75\%$.
  • c) Percentatge d’aprovats a Biologia: $59.92\%$.
  • d) Percentatge d’estudiants que aprovaven Matemàtiques donat que no van aprovar Biologia: $54.23\%$.
Tags
Sobre l'autor
Oscar Alex Fernandez Mora Etern estudiant de la Rússia tsarista. Gran aficionat als destil·lats i als fermentats. Malaltís de llibres de la MIR i entusiasta del #LaTeX. Soci de l’ACBC. Important actiu del projecte Campana de Gauss

Leave a reply

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *