LEMNISCATA
Matemàtiques
En cert curs de segon de batxillerat d’un IES el $72.5\%$ dels alumnes varen aprovar Matemàtiques. Dels alumnes que varen aprovar Matemàtiques, el $70\%$ va aprovar també Biologia. D’altra banda, el $33.3\%$ dels que no varen aprovar Matemàtiques varen aprovar Biologia. a) Expressau les dades proporcionades com a probabilitats i donau un arbre que representi les dades. b) Quin percentatge va aconseguir aprovar ambdues assignatures alhora? c) Quin va ser el percentatge d’aprovats a l’assignatura de Biologia? d) Si un estudiant no va aprovar Biologia, quina probabilitat hi ha què aprovàs Matemàtiques?
Definim els següents successos:
Dades proporcionades:
On $A^c$ és el complement de $A$ (és a dir, no aprovar Matemàtiques).
Per calcular $P(A^c)$:
$$P(A^c) = 1 – P(A) = 1 – 0.725 = 0.275$$
L’arbre de probabilitats es pot representar de la següent manera:
(Inici)
|
+----+----+
| |
P(A) P(A^c)
0.725 0.275
| |
+------+--+ +--+------+
| | | |
P(B|A) P(B|A^c) P(B^c|A^c)
0.70 0.333 0.667
On:
Per calcular $P(A \cap B)$, utilitzem la regla de la probabilitat condicional:
$$P(A \cap B) = P(B|A) \cdot P(A)$$
Substituïm els valors:
$$P(A \cap B) = P(B|A) \cdot P(A) = 0.70 \cdot 0.725 = 0.5075$$
Per expressar-ho com a percentatge:
$$P(A \cap B) \times 100 = 0.5075 \times 100 = 50.75\%$$
Per calcular $P(B)$ (la probabilitat d’aprovar Biologia), utilitzem la regla de la totalització:
$$P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(A^c) \cdot P(B|A^c)$$
Substituïm els valors:
$$P(B) = 0.725 \cdot 0.70 + 0.275 \cdot 0.333$$
Calculant cada part:
Sumant les dues parts:
$$P(B) = 0.5075 + 0.091725 = 0.599225$$
Per expressar-ho com a percentatge:
$$P(B) \times 100 = 0.599225 \times 100 \approx 59.92\%$$
Volem calcular $P(A|B^c)$ (la probabilitat d’aprovar Matemàtiques donat que no s’ha aprovat Biologia). Utilitzarem la fórmula de Bayes:
$$P(A|B^c) = \frac{P(B^c|A) \cdot P(A)}{P(B^c)}$$
Primer, calculem $P(B^c|A)$:
$$P(B^c|A) = 1 – P(B|A) = 1 – 0.70 = 0.30$$
Ara, calculem $P(B^c)$:
$$P(B^c) = 1 – P(B) = 1 – 0.599225 = 0.400775$$
Ara podem substituir:
$$P(A|B^c) = \frac{P(B^c|A) \cdot P(A)}{P(B^c)} = \frac{0.30 \cdot 0.725}{0.400775}$$
Calculant:
$$P(A|B^c) = \frac{0.2175}{0.400775} \approx 0.5423$$
Per expressar-ho com a percentatge:
$$P(A|B^c) \times 100 \approx 54.23\%$$