Determinació equació del pla coneixent 3 punts

Donats els punts de l’espai $A = (2, 0, 0)$, $B = (0, 1, 0)$ i $C = (0, 0, 3)$. a) Determineu l’equació del pla $\pi$ que els conté. b) Calculeu l’equació de la recta r perpendicular al pla $\pi$ i que passa per l’origen.

Per determinar l’equació del pla $\pi$ que conté els punts $A(2, 0, 0)$, $B(0, 1, 0)$ i $C(0, 0, 3)$, podem seguir els passos següents:

Pas 1: Trobar els vectors directors del pla

Els vectors que defineixen el pla són els vectors $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{AC}$, que es poden obtenir restant les coordenades dels punts:

• $\overrightarrow{AB} = B – A = (0, 1, 0) – (2, 0, 0) = (-2, 1, 0)$
• $\overrightarrow{AC} = C – A = (0, 0, 3) – (2, 0, 0) = (-2, 0, 3)$

Pas 2: Calcular el vector normal del pla

El vector normal $\vec{n}$ del pla és perpendicular als vectors directors $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{AC}$, i es pot calcular com el producte vectorial d’aquests vectors:

$$\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$$

Calculant el producte vectorial:

$$\vec{n} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
-2 & 1 & 0 \\
-2 & 0 & 3
\end{vmatrix}$$

Desenvolupem el determinant:

$$\vec{n} = \hat{i} \left( 1 \cdot 3 – 0 \cdot 0 \right) – \hat{j} \left( -2 \cdot 3 – 0 \cdot (-2) \right) + \hat{k} \left( -2 \cdot 0 – (-2) \cdot 1 \right)$$

$$\vec{n} = \hat{i}(3) – \hat{j}(-6) + \hat{k}(2)$$

$$\vec{n} = (3, 6, 2)$$

Així, el vector normal al pla és (\vec{n} = (3, 6, 2)).

Pas 3: Escriure l’equació del pla

L’equació d’un pla que passa pel punt $A(x_0, y_0, z_0)$ i té com a vector normal $\vec{n} = (a, b, c)$ és:

$$a(x – x_0) + b(y – y_0) + c(z – z_0) = 0$$

Prenent $A(2, 0, 0)$ com el punt pel qual passa el pla i $\vec{n} = (3, 6, 2)$ com el vector normal, tenim:

$$3(x – 2) + 6(y – 0) + 2(z – 0) = 0$$

Simplifiquem:

$$3(x – 2) + 6y + 2z = 0$$

$$3x – 6 + 6y + 2z = 0$$

$$3x + 6y + 2z = 6$$

Per tant, l’equació del pla és:

$$3x + 6y + 2z = 6$$

Per calcular l’equació de la recta $r$ que és perpendicular al pla $\pi$ i que passa per l’origen, podem seguir els passos següents:

Pas 1: Vector director de la recta

Sabem que la recta és perpendicular al pla $\pi$. El vector normal al pla $\pi$ és $\vec{n} = (3, 6, 2)$, que hem calculat en l’apartat anterior. Com que la recta és perpendicular al pla, el seu vector director serà paral·lel a aquest vector normal. Per tant, el vector director de la recta $r$ és:

$$\vec{d} = (3, 6, 2)$$

Pas 2: Punt de la recta

Sabem que la recta passa per l’origen, és a dir, pel punt $O(0, 0, 0)$.

Pas 3: Equació de la recta

L’equació paramètrica d’una recta que passa per un punt $P(x_0, y_0, z_0)$ i té un vector director $\vec{d} = (a, b, c)$ és:

$$\left{ \begin{array}{l}
x = x_0 + at \\
y = y_0 + bt \\
z = z_0 + ct
\end{array} \right.$$

On $t)$és el paràmetre de la recta.

En aquest cas, el punt és $O(0, 0, 0)$ i el vector director és $(3, 6, 2)$. Així, l’equació paramètrica de la recta $r$ és:

$$\left{ \begin{array}{l}
x = 3t \\
y = 6t \\
z = 2t
\end{array} \right.$$

Pas 4: Forma simètrica de l’equació de la recta

Si volem expressar la recta en la seva forma simètrica, partim de les equacions paramètriques i aïllem $t$:

$$t = \frac{x}{3} = \frac{y}{6} = \frac{z}{2}$$

Per tant, l’equació de la recta $r$ en forma simètrica és:

$$\frac{x}{3} = \frac{y}{6} = \frac{z}{2}$$

Aquesta és l’equació de la recta perpendicular al pla $\pi$ i que passa per l’origen.