PAU LOGSE 1999 Sèrie 2 Problema 2

Donats els punts de l’espai $A = (2, 1, 0)$, $B = (0, 2, 0)$, $C = (-3, 0, 0)$ i $D = (0, -1, 0)$:

a) Són coplanaris?

Els punts $A$, $B$, $C$ i $D$ són coplanaris si i només si els vectors $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ i $\overrightarrow{AD}$ són linealment dependents.

Calculem els vectors:

• $\overrightarrow{AB} = B – A = (0, 2, 0) – (2, 1, 0) = (-2, 1, 0)$
• $\overrightarrow{AC} = C – A = (-3, 0, 0) – (2, 1, 0) = (-5, -1, 0)$
• $\overrightarrow{AD} = D – A = (0, -1, 0) – (2, 1, 0) = (-2, -2, 0)$

Formem la matriu amb aquests vectors:

$$\begin{bmatrix}
-2 & -5 & -2 \\
1 & -1 & -2 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$$

Com que la tercera fila és zero, el determinant d’aquesta matriu és zero, la qual cosa implica que els vectors són linealment dependents. Per tant, els punts $A$, $B$, $C$ i $D$ són coplanaris.

Conclusió: Els punts són coplanaris.

Formen un paral·lelogram?

Un paral·lelogram és un quadrilàter amb els costats paral·lels dos a dos. Per tant, hem de comprovar si els vectors són paral·lels dos a dos.

Calculem els vectors:

• $\overrightarrow{AB} = B – A = (0, 2, 0) – (2, 1, 0) = (-2, 1, 0)$
• $\overrightarrow{BC} = C – B = (-3, 0, 0) – (0, 2, 0) = (-3, -2, 0)$
• $\overrightarrow{CD} = D – C = (0, -1, 0) – (-3, 0, 0) = (3, -1, 0)$
• $\overrightarrow{AD} = D – A = (0, -1, 0) – (2, 1, 0) = (-2, -2, 0)$

Es pot observar que no hi ha cap parell de vectors proporcionals (és a dir, no hi ha vectors que siguin múltiples escalars l’un de l’altre). Per tant, el quadrilàter no és un paral·lelogram.

Conclusió: El quadrilàter format pels punts $A$, $B$, $C$ i $D$ no és un paral·lelogram.

b) Calculeu l’àrea del polígon ABCD.

A l’apartat a) hem comprovat que els punts $A$, $B$, $C$ i $D$ són coplanaris, però si ens fixem, això era obvi, ja que tots quatre tenen la tercera component igual a $0$. Per tant, aquests punts no només són coplanaris, sinó que tots quatre es troben en el pla $z = 0$. Així, si considerem només les dues primeres components, és a dir, $A = (2, 1)$, $B = (0, 2)$, $C = (-3, 0)$ i $D = (0, -1)$, podem representar el polígon en el pla $xy$.

Podem dividir el polígon en dos triangles: $BDA$ i $BDC$.

• Triangle BDA: La base $BD$ té una longitud de $3$ unitats, i l’altura relativa a aquesta base és de $2$ unitats. Per tant, l’àrea és:
  $$\text{Àrea}_{BDA} = \frac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot \text{altura} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3 \text{ unitats quadrades}.$$
• Triangle BDC: La base $BD$ també té una longitud de $3$ unitats, i l’altura relativa a aquesta base és de $3$ unitats. Per tant, l’àrea és:
  $$\text{Àrea}_{BDC} = \frac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot \text{altura} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2} \text{ unitats quadrades}.$$

Sumant les àrees dels dos triangles:
$$\text{Àrea total} = \text{Àrea}{BDA} + \text{Àrea}{BDC} = 3 + \frac{9}{2} = \frac{6}{2} + \frac{9}{2} = \frac{15}{2} \text{ unitats quadrades}.$$

Conclusió: L’àrea del polígon $ABCD$ és $\frac{15}{2}$ unitats quadrades.

Continuació del càlcul del punt simètric:

Substituint $\lambda = -2$ a les equacions de la recta, obtenim el punt d’intersecció amb el pla:
$$\begin{cases}
x = 1 \\
y = 1 \\
z = 0
\end{cases}$$
Aquest punt és $P = (1, 1, 0)$.

Calculem el vector $\overrightarrow{EP}$:
$$\overrightarrow{EP} = P – E = (1, 1, 0) – (1, 1, 2) = (0, 0, -2).$$

El punt simètric $Q$ es troba sumant el vector $\overrightarrow{EP}$ al punt $P$:
$$Q = P + \overrightarrow{EP} = (1, 1, 0) + (0, 0, -2) = (1, 1, -2).$$

Conclusió: El punt simètric de $E = (1, 1, 2)$ respecte al pla $\pi$ és $Q = (1, 1, -2)$.

---

d) Calculeu la distància entre la recta que passa per $E$ i $A$ i la recta que passa per $B$ i $C$.

• Primer pas: Calculem les equacions de les rectes i determinem la seva posició relativa.
• Recta $r$ que passa pels punts $E = (1, 1, 2)$ i $A = (2, 1, 0)$: Vector director:
  $$\overrightarrow{EA} = A – E = (2, 1, 0) – (1, 1, 2) = (1, 0, -2).$$ Equació paramètrica de la recta $r$ : $$
  r: \begin{cases}
  x = 1 + \lambda, \\
  y = 1, \\
  z = 2 – 2\lambda.
  \end{cases}$$
  Simplificant (eliminant $\lambda$):
  $$\frac{x – 1}{1} = \frac{z – 2}{-2}, \quad y = 1 \quad \text{(o equivalentment, } x + 2z = 5, \quad y = 1\text{)}.$$
• Recta $s$ que passa pels punts $B = (0, 2, 0)$ i $C = (-3, 0, 0)$: Vector director:
  $$\overrightarrow{BC} = C – B = (-3, 0, 0) – (0, 2, 0) = (-3, -2, 0) \quad (\text{o equivalentment, } (3, 2, 0)\text{)}.$$ Equació paramètrica de la recta $s$: $$
  s: \begin{cases}
  x = -3\mu, \\
  y = 2 – 2\mu, \\
  z = 0.
  \end{cases}$$
  Simplificant:
  $$\frac{x}{3} = \frac{y – 2}{-2}, \quad z = 0 \quad \text{(o equivalentment, } 2x + 3y = 6, \quad z = 0\text{)}.$$
• Segon pas: Posició relativa de les rectes $r$ i $s$:

Per determinar si les rectes $r$ i $s$ són paral·leles, creuants o coincidents, comprovem si els seus vectors directors són proporcionals:

• Vector director de $r$: $\vec{v}_r = (1, 0, -2)$.
• Vector director de $s$: $\vec{v}_s = (3, 2, 0)$.

No existeix cap escalar $k$ tal que $(1, 0, -2) = k \cdot (3, 2, 0)$, ja que la tercera component de $\vec{v}_r$ és $-2$, mentre que la de $\vec{v}_s$ és 0. Per tant, les rectes no són paral·leles.

Ara comprovem si s’intersequen resolent el sistema d’equacions de les dues rectes:
$$\begin{cases}
x = 1 + \lambda, \\
y = 1, \\
z = 2 – 2\lambda, \\
x = -3\mu, \\
y = 2 – 2\mu, \\
z = 0.
\end{cases}$$
Igualem les equacions:
$$\begin{cases}
1 + \lambda = -3\mu, \\
1 = 2 – 2\mu, \\
2 – 2\lambda = 0.
\end{cases}$$

Resolem:

1. De $2 – 2\lambda = 0$:
   $$\lambda = 1.$$
2. De $1 = 2 – 2\mu$:
   $$2\mu = 1 \implies \mu = \frac{1}{2}.$$
3. Substituint a la primera equació:
   $$1 + 1 = -3 \cdot \frac{1}{2} \implies 2 = -\frac{3}{2}.$$

Aquesta equació és incompatible, per la qual cosa les rectes no s’intersequen i, com que no són paral·leles, són creuants.

• Tercer pas: Calculem la distància entre les rectes creuants.

La fórmula per a la distància entre dues rectes creuants és:
$$d(r, s) = \frac{|\overrightarrow{AB} \cdot (\vec{v}_r \times \vec{v}_s)|}{|\vec{v}_r \times \vec{v}_s|},$$
on $\overrightarrow{AB}$ és el vector que uneix un punt de la recta $r$ amb un punt de la recta $s$, i $\vec{v}_r \times \vec{v}_s$ és el producte vectorial dels vectors directors.

Prenem $A = (2, 1, 0)$ de la recta $r$ i $B = (0, 2, 0)$ de la recta $s$:
$$\overrightarrow{AB} = B – A = (0, 2, 0) – (2, 1, 0) = (-2, 1, 0).$$

Calculem el producte vectorial $\vec{v}_r \times \vec{v}_s$:
$$\vec{v}_r = (1, 0, -2), \quad \vec{v}_s = (3, 2, 0).$$
$$\vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 0 & -2 \\
3 & 2 & 0
\end{vmatrix}
= \mathbf{i}(0 \cdot 0 – (-2) \cdot 2) – \mathbf{j}(1 \cdot 0 – (-2) \cdot 3) + \mathbf{k}(1 \cdot 2 – 0 \cdot 3)$$
$$= \mathbf{i}(4) – \mathbf{j}(6) + \mathbf{k}(2) = (4, -6, 2).$$

Mòdul del producte vectorial:
$$|\vec{v}_r \times \vec{v}_s| = \sqrt{4^2 + (-6)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 36 + 4} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14}.$$

Producte escalar:
$$\overrightarrow{AB} \cdot (\vec{v}_r \times \vec{v}_s) = (-2, 1, 0) \cdot (4, -6, 2) = (-2) \cdot 4 + 1 \cdot (-6) + 0 \cdot 2 = -8 – 6 = -14.$$

Valor absolut:
$$|\overrightarrow{AB} \cdot (\vec{v}_r \times \vec{v}_s)| = |-14| = 14.$$

Distància:
$$d(r, s) = \frac{14}{2\sqrt{14}} = \frac{14}{2\sqrt{14}} = \frac{7}{\sqrt{14}} = \frac{7\sqrt{14}}{14} = \frac{\sqrt{14}}{2}.$$

Conclusió: La distància entre les rectes $r$ i $s$ és $\frac{\sqrt{14}}{2}$ unitats.