Anàlisi d’una funció

Considera la funció $f(x) = x^3 – 3x^2 + 2$. a) Determina els intervals de creixement i decreixement de la funció. b) Troba els màxims i mínims relatius, si n’hi ha. c) Calcula els punts d’inflexió, si n’hi ha. d) Dibuixa un esbós qualitatiu del gràfic de la funció.

$\textbf{a) Intervals de creixement i decreixement:}$

Derivada primera:
$$f'(x) = 3x^2 – 6x = 3x(x – 2).$$
Punts crítics: $x = 0$, $x = 2$.

Anàlisi de signes:

• A $(-\infty, 0)$: $f'(-1) = 9 > 0$, creixent.
• A $(0, 2)$: $f'(1) = -3 < 0$, decreixent.
• A $(2, +\infty)$: $f'(3) = 9 > 0$, creixent.

$\textbf{Resposta}$: Creixent a $(-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$, decreixent a $(0, 2)$.

$\textbf{b) Màxims i mínims relatius:}$

• A $x = 0$: $f(0) = 2$. Canvi de creixent a decreixent $\implies$ màxim a $(0, 2)$.
• A $x = 2$: $f(2) = -2$. Canvi de decreixent a creixent $\implies$ mínim a $(2, -2)$.

$\textbf{Resposta}$: Màxim a $(0, 2)$, mínim a $(2, -2)$.

$\textbf{c) Punts d’inflexió:}$

Derivada segona:
$$f”(x) = 6x – 6 = 0 \implies x = 1.$$
Canvi de concavitat:

• A $(-\infty, 1)$: $f”(0) = -6 < 0$, còncava avall.
• A $(1, +\infty)$: $f”(2) = 6 > 0$, còncava amunt.

A $x = 1$: $f(1) = 0$.

$\textbf{Resposta}$: Punt d’inflexió a $(1, 0)$.

$\textbf{d) Esbós qualitatiu:}$

La funció té un màxim a $(0, 2)$, un mínim a $(2, -2)$, un punt d’inflexió a $(1, 0)$, és creixent a $(-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$, decreixent a $(0, 2)$, còncava avall a $(-\infty, 1)$ i còncava amunt a $(1, +\infty)$.