Problema d’optimització. Examen selectivitat matemàtiques II. Sèrie 0 Any 2025

En Joan troba entre els papers del seu avi un esbós com el de la figura adjunta, en el qual es descriu un terreny de regadiu que ha deixat en herència al seu pare.

La corba de la gràfica és $y = f(x)$, amb $f(x) = -x^3 + 7x^2 – 6x + 5$. a) A partir de l’expressió de $f(x)$, calculeu les coordenades dels punts $P$, $Q$ i $R$ que s’indiquen a la figura. Calculeu també l’equació de la recta $PR$. b) Calculeu la superfície del terreny.

Resolem:
$$-x^3 + 7x^2 – 6x + 5 = 5 \implies x(-x^2 + 7x – 6) = 0$$
$$x = 0, \quad x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 – 24}}{-2} = \frac{-7 \pm 5}{-2} \implies\begin{cases} x = 1 \\ x = 6\end{cases}.$$
Per tant, les coordenades són $P = (1, 5)$, $Q = (6, 5)$, i $R = (6, 0)$.

La recta $r$ que passa per $P = (1, 5)$ i $R = (6, 0)$ té pendent: \[ m = \frac{0 – 5}{6 – 1} = -1. \] L’equació és $y = -x + n$. Com que passa per $R = (6, 0)$: \[ 0 = -6 + n \implies n = 6. \] Per tant, la recta és: \[ y = -x + 6. \] \textbf{b) Àrea del terreny:} L’àrea és: \[ A = \int_{1}^{6} \left[ f(x) – r(x) \right] dx = \int_{1}^{6} \left[ (-x^3 + 7x^2 – 6x + 5) – (-x + 6) \right] dx \] \[ = \int_{1}^{6} (-x^3 + 7x^2 – 5x – 1) dx = \left[ -\frac{x^4}{4} + \frac{7}{3}x^3 – \frac{5}{2}x^2 – x \right]_{1}^{6} \] \[ = \left( -\frac{6^4}{4} + \frac{7}{3} \cdot 6^3 – \frac{5}{2} \cdot 6^2 – 6 \right) – \left( -\frac{1^4}{4} + \frac{7}{3} \cdot 1^3 – \frac{5}{2} \cdot 1^2 – 1 \right) \] \[ = \left( -\frac{1296}{4} + \frac{7}{3} \cdot 216 – \frac{5}{2} \cdot 36 – 6 \right) – \left( -\frac{1}{4} + \frac{7}{3} – \frac{5}{2} – 1 \right) \] \[ = \left( -324 + 504 – 90 – 6 \right) – \left( -\frac{1}{4} + \frac{7}{3} – \frac{5}{2} – 1 \right) \] \[ = 84 – \left( -\frac{1}{4} + \frac{14}{6} – \frac{15}{6} – \frac{6}{6} \right) = 84 – \left( -\frac{1}{4} – \frac{7}{6} \right) = 84 + \frac{1}{4} + \frac{7}{6} = \frac{1025}{12} \approx 85.416 \, u^2. \] Alternativament: \[ A = \int_{1}^{6} f(x) \, dx – \frac{5 \cdot 5}{2} = \int_{1}^{6} (-x^3 + 7x^2 – 6x + 5) \, dx – \frac{25}{2} \] \[ = \left[ -\frac{x^4}{4} + \frac{7}{3}x^3 – 3x^2 + 5x \right]_{1}^{6} – \frac{25}{2} \] \[ = \left( -\frac{6^4}{4} + \frac{7}{3} \cdot 6^3 – 3 \cdot 6^2 + 5 \cdot 6 \right) – \left( -\frac{1^4}{4} + \frac{7}{3} \cdot 1^3 – 3 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1 \right) – \frac{25}{2} \] \[ = \left( -324 + 504 – 108 + 30 \right) – \left( -\frac{1}{4} + \frac{7}{3} – 3 + 5 \right) – \frac{25}{2} \] \[ = 102 – \left( -\frac{1}{4} + \frac{7}{3} + 2 \right) – \frac{25}{2} = 102 – \left( \frac{-3 + 28 + 24}{12} \right) – \frac{25}{2} = 102 – \frac{49}{12} – \frac{150}{12} = \frac{1025}{12} \approx 85.416 \, u^2. \]