Problema d’optimització

Volem fer un cobert de fusta amb un volum de $6$ m$^3$, amb forma de prisma rectangular, adossat a la paret lateral d’una casa, per emmagatzemar-hi llenya. Només cal construir el sostre i tres parets, ja que la paret del fons és la de la casa. A més, l’amplada del cobert ha de ser el triple de la seva fondària. El cost de construcció de cada metre quadrat de paret és de $30$ €, mentre que el del sostre és de $50$ €/m$^2$. Un cop fet el cobert, instal·lar-hi una porta té un cost fix de 35 €. [a)] Comproveu que el cost de construcció del cobert ve determinat per la funció $C(x) = \frac{300}{x}+150x^2 + 35$, on $x$ és la fondària del cobert en metres. [b) ]Calculeu quines han de ser les dimensions del cobert per tal que el cost de construcció sigui mínim i justifiqueu la resposta. Quin és aquest cost?

(a) Com s’indica a l’enunciat, denotem per $x$ la fondària del cobert, i per $h$ l’alçada; l’amplada serà $3x$. El volum del cobert ha de ser de 6 $m^3$, és a dir, $3x \cdot x \cdot h = 6$ i, per tant, $h = \frac{2}{x^2}$. El cost de construcció ve donat per
$C(x) = 30 \cdot (3xh + xh + xh) + 50 \cdot 3x^2 + 35 = 150xh + 150x^2 + 35 =$

$= 150x \cdot \frac{2}{x^2} + 150x^2 + 35 = \frac{300}{x} + 150x^2 + 35$.

(b) Per minimitzar la funció $C(x)$, calculem la seva derivada: $$C'(x) = -\frac{300}{x^2} + 300x$$
Si resolem l’equació $C'(x) = 0$, obtenim $\frac{300}{x^2} = 300x$ o, equivalentment, $x^3 = 1$, que té com a única solució real $x = 1$. Com que $C”(x) = \frac{600}{x^3} + 300$ i $C”(1) > 0$, comprovem fàcilment que es tracta d’un mínim de la funció. Així doncs, les dimensions del cobert han de ser $x = 1$ metre de fondària, $3x = 3$ metres d’amplada, i $h = \frac{2}{1^2} = 2$ metres d’alçada. Per aquestes dimensions, el cost de construcció és de $C(1) = \frac{300}{1} + 150 \cdot 1^2 + 35 = 485$ euros.