Problema optimització. Porta rectangular

Es vol fer una porta rectangular coronada per un semicercle, com es mostra a la figura següent. L’àrea del forat de la porta és de $16$ metres quadrats. Determinar la longitud $x$ de la base perquè el perímetre sigui mínim.

Ens demanen minimitzar el perímetre d’aquesta figura. Per tant, calculem primer el perímetre, recordant que el perímetre d’una circumferència és $l = 2\pi R$. La figura està formada per un rectangle sense el costat superior i una semicircumferència amb radi $R = \frac{x}{2}$. Així, el perímetre és:

\begin{equation}
p(x,y) = 2y + x + \frac{2\pi \cdot \frac{x}{2}}{2} = 2y + x + \frac{\pi x}{2}
\end{equation}

Per optimitzar aquesta funció, cal derivar-la, però no podem fer-ho si depèn de dues variables. Hem d’eliminar una de les variables utilitzant el valor de l’àrea donat: $A = 16$. L’àrea de la figura és:

\begin{align}
A = x \cdot y + \frac{\pi R^2}{2} = x \cdot y + \frac{\pi \cdot \frac{x^2}{4}}{2} = x \cdot y + \frac{\pi x^2}{8} = \frac{8xy + \pi x^2}{8} = 16
\end{align}

Despejem ( y ) d’aquesta equació:

\begin{align}
8xy + \pi x^2 &= 128 \\
8xy &= 128 – \pi x^2 \\
y &= \frac{128 – \pi x^2}{8x}
\end{align}

Substituïm aquesta expressió de $y$ en la funció $p(x,y)$:

\begin{align}
p(x) &= 2 \cdot \frac{128 – \pi x^2}{8x} + x + \frac{\pi x}{2} = \frac{128 – \pi x^2}{4x} + x + \frac{\pi x}{2} \
&= \frac{128 – \pi x^2 + 4x^2 + 2\pi x^2}{4x} = \frac{128 + (4 + \pi)x^2}{4x}
\end{align}

Per trobar el mínim d’aquesta funció, la derivem, igualem la derivada a 0 i resolem l’equació resultant:

\begin{align}
p'(x) &= \frac{2(4 + \pi)x \cdot 4x – [128 + (4 + \pi)x^2] \cdot 4}{(4x)^2} \\
&= \frac{8(4 + \pi)x^2 – 4[128 + (4 + \pi)x^2]}{(4x)^2} \\
&= \frac{8(4 + \pi)x^2 – 512 – 4(4 + \pi)x^2}{(4x)^2} \\
&= \frac{4(4 + \pi)x^2 – 512}{(4x)^2}
\end{align}

\begin{align}
\frac{4(4 + \pi)x^2 – 512}{(4x)^2} &= 0 \\
4(4 + \pi)x^2 – 512 &= 0 \\
4(4 + \pi)x^2 &= 512 \\
x^2 &= \frac{512}{4(4 + \pi)} = \frac{128}{4 + \pi} \\
x_0 &= \sqrt{\frac{128}{4 + \pi}}
\end{align}

Aquest és l’únic extrem de la funció $p(x)$. Per comprovar que és un mínim, analitzem la monotonia de la funció en punts propers a aquest extrem:

\begin{equation}
p'(x_0^-) = \frac{4(4 + \pi)(x_0^-)^2 – 512}{(4x_0^-)^2} < 0 \end{equation} \begin{equation} p'(x_0^+) = \frac{4(4 + \pi)(x_0^+)^2 – 512}{(4x_0^+)^2} > 0
\end{equation}

Com que la funció decreix fins a $x_0$ i després creix, es tracta d’un mínim.