PAU 2020 Sèrie 4 Qüestió 1

Siguin les funcions $f(x) = x^3$ i $g(x) = a \cdot x^2$, on $a$ és un nombre real positiu. a) Trobau, en funció del paràmetre $a$, els punts de tall entre les dues corbes $y = f(x)$ i $y = g(x)$, i feu un esbós de la regió limitada per les dues gràfiques. b) Calculeu el valor de $a$ perquè l’àrea compresa entre $y = f(x)$ i $y = g(x)$ sigui $\frac{27}{4}$ unitats quadrades.

Igualem les dues funcions i resolem:
$$f(x) = g(x)$$
$$x^3 = a x^2$$
$$x^3 – a x^2 = 0$$
$$x^2 (x – a) = 0\begin{cases}x = 0 \\ x = a\end{cases}$$

Els punts de tall són $(0, 0)$ i $(a, a^3)$.

b) L’àrea entre les dues funcions es calcularà amb la integral definida de la diferència de les dues funcions:
$$A = \int_{0}^{a} (g(x) – f(x)) \, dx = \int_{0}^{a} (a x^2 – x^3) \, dx = \left( \frac{a x^3}{3} – \frac{x^4}{4} \right) \Big|_0^a = \frac{a^4}{3} – \frac{a^4}{4} = \frac{a^4}{12}$$

$$\frac{a^4}{12} = \frac{27}{4} \Rightarrow a^4 = 81 \Rightarrow a = \pm 3.$$

Cal descartar el valor $a = -3$, ja que, segons l’enunciat, $a$ és positiu.
Per tant, per a $a = 3$, l’àrea entre les dues funcions és $\frac{27}{4}$ unitats quadrades.