Probabilitat d’Efectes Secundaris d’un Medicament

Un laboratori afirma que un medicament causa efectes secundaris en una proporció de tres de cada cent pacients. Per contrastar aquesta informació, un altre laboratori tria cinc pacients a l’atzar i els administra el medicament. Calculeu: a) La probabilitat que cap pacient tingui efectes secundaris. b) La probabilitat que almenys dos tinguin efectes secundaris. c) El nombre mitjà de pacients que s’espera que tinguin efectes secundaris d’un grup de $100$ pacients.

Aquest problema es pot resoldre utilitzant una distribució binomial, ja que cada pacient representa un assaig independent amb una probabilitat fixa d’èxit (tenir efectes secundaris). La probabilitat d’efectes secundaris és $p = \frac{3}{100} = 0,03$, i la probabilitat de no tenir-los és $1 – p = 0,97$.

a) Probabilitat que cap pacient tingui efectes secundaris

• Nombre d’assajos: $n = 5$,
• Nombre d’èxits: $k = 0$,
• Fórmula binomial: $P(k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 – p)^{n-k}$,
• $\binom{5}{0} = 1$,
  $$P(0) = 1 \cdot (0,03)^0 \cdot (0,97)^5$$
  $$P(0) = 1 \cdot 1 \cdot (0,97)^5$$
  $$(0,97)^5 \approx 0,8587$$
  $$P(0) \approx 0,8587$$

Resposta a: La probabilitat que cap pacient tingui efectes secundaris és aproximadament $0,8587$.

b) Probabilitat que almenys dos tinguin efectes secundaris

• “Almenys dos” significa $k = 2, 3, 4$ o $5$. És més fàcil calcular-la com el complement de la probabilitat de tenir menys de $2$ (és a dir, $k = 0$ o $k = 1$).
• $P(\text{almenys 2}) = 1 – P(k = 0) – P(k = 1)$.
• $P(k = 1)$:
  $$P(1) = \binom{5}{1} \cdot (0,03)^1 \cdot (0,97)^4$$
  $$\binom{5}{1} = 5$$
  $$(0,97)^4 \approx 0,8853$$
  $$P(1) = 5 \cdot 0,03 \cdot 0,8853 \approx 0,1328$$
• $P(\text{almenys 2})$:
  $$P(\text{almenys 2}) = 1 – P(0) – P(1)$$
  $$P(\text{almenys 2}) \approx 1 – 0,8587 – 0,1328 \approx 0,0085$$

Resposta b: La probabilitat que almenys dos pacients tinguin efectes secundaris és aproximadament $0,0085$.

c) Nombre mitjà de pacients amb efectes secundaris en $100$ pacients

• El nombre mitjà (valor esperat) en una distribució binomial es calcula com $E = n \cdot p$,
• $n = 100$, $p = 0,03$,
  $$E = 100 \cdot 0,03 = 3$$

Resposta c: El nombre mitjà de pacients que s’espera que tinguin efectes secundaris en un grup de $100$ pacients és $3$.

Respostes finals:

• a) Probabilitat que cap pacient tingui efectes secundaris: $0,8587$,
• b) Probabilitat que almenys dos tinguin efectes secundaris: $0,0085$,
• c) Nombre mitjà de pacients amb efectes secundaris en $100$ pacients: $3$.