Probabilitat d’Aturades d’un Conductor en Àrees de Servei

Una pagesa contracta una empresa de conductors perquè portin els tractors als pobles on han de treballar. Suposem que els conductors fan tot el trajecte a una velocitat constant. Suposem que durant el trajecte hi ha en total tres àrees de servei i, en cada una d’elles, el conductor decideix si s’atura a descansar una mica amb una probabilitat d’1/3, independentment de si s’ha aturat o no en les altres àrees. Calculeu quina és la probabilitat que no s’aturi cap vegada. Quina és la probabilitat que s’aturi exactament dues vegades?

Aquest problema segueix una distribució binomial, ja que cada àrea de servei és un assaig independent amb probabilitat d’èxit (aturar-se) $p = \frac{1}{3}$, i probabilitat de no aturar-se $1 – p = \frac{2}{3}$. Hi ha $n = 3$ àrees de servei, i $k$ és el nombre d’aturades.

La fórmula de la probabilitat binomial és:
$$P(k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 – p)^{n-k}$$

1. Probabilitat que no s’aturi cap vegada ($k = 0$)

• $p = \frac{1}{3}$, $1 – p = \frac{2}{3}$, $n = 3$, $k = 0$.
• Coeficient binomial: $\binom{3}{0} = 1$.
  $$P(0) = \binom{3}{0} \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^0 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^3$$
  $$P(0) = 1 \cdot 1 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^3 = \frac{8}{27}$$

Resposta 1: La probabilitat que no s’aturi cap vegada és $\frac{8}{27}$.

2. Probabilitat que s’aturi exactament dues vegades ($k = 2$)

• $p = \frac{1}{3}$, $1 – p = \frac{2}{3}$, $n = 3$, $k = 2$.
• Coeficient binomial: $\binom{3}{2} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = 3$.
  $$P(2) = \binom{3}{2} \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^2 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{3-2}$$
  $$P(2) = 3 \cdot \left( \frac{1}{3} \right)^2 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^1$$
  $$P(2) = 3 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{2}{3} = 3 \cdot \frac{2}{27} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$$

Resposta 2: La probabilitat que s’aturi exactament dues vegades és $\frac{2}{9}$.

Respostes finals:

• Probabilitat de no aturar-se cap vegada: $\frac{8}{27}$,
• Probabilitat d’aturar-se exactament dues vegades: $\frac{2}{9}$.