Optimització de l’Àrea d’un Jardí amb Tanques de Perímetre Fix

Es disposen de $4$ tanques de $10$ m cada una amb les que hem de limitar un jardí. Quants metres quadrats tindrà com a màxim el jardí?

Al tancar un espai amb $4$ tanques de $10$ m, aquest tindrà forma de rombe. El problema pot traduir-se, matemàticament, a maximitzar l’àrea d’un rombe amb els costats fixats ($10$ m).

Construeixo la funció a maximitzar. Sigui un rombe de costat $10$ m a la seva diagonal llarga li diem $y$, i a la seva diagonal curta li diem $x$. La funció àrea serà:

$$A(x,y)=\dfrac{x\cdot y}{2}$$

Trobo les lligadures. En aquest cas la longitud del costat $L$ és la nostra lligadura, ja que han de ser sempre $10$ m. Hem de calcular doncs $L$ en funció de les variables $x$ i $y$ i igualar-lo a $10$.

Sigui $L=10$ m el costat del rombe, hem de relacionar $L$ amb $x$ i $y$. Usem el teorema de Pitàgores

$$L^2=\Big(\dfrac{x}{2}\Big)^2+\Big(\dfrac{y}{2}\Big)^2 \rightarrow \dfrac{1}{2}\sqrt{x^2+y^2}=10 \rightarrow y=\sqrt{20^2-x^2}$$

Reescrivim la funció

$$A(x,y)=\dfrac{x\cdot y}{2} \rightarrow A(x)=\dfrac{x\cdot \sqrt{20^2-x^2}}{2}$$

Maximitzem. Per a això s’iguala la derivada $A’$ zero.

$$A'(x)=\dfrac{\sqrt{20^2-x^2}+x\dfrac{1}{2}(20^2-x^2)^{-1/2}(-2x)}{2}=
\dfrac{\sqrt{20^2-x^2}-\dfrac{2x^2}{2\sqrt{20^2-x^2}}}{2}=$$

$$=\dfrac{\sqrt{20^2-x^2}}{2}-\dfrac{x^2}{2\sqrt{20^2-x^2}}$$

Fem el càlcul

$$0=A’=\dfrac{\sqrt{20^2-x^2}}{2}-\dfrac{x^2}{2\sqrt{20^2-x^2}}$$

$$(20^2-x^2)-x^2=0 \Rightarrow 2x^2=20^2 \Rightarrow x=10\sqrt{2}$$

aleshores

$$x=10\sqrt{2} \ \mbox{m}$$

Trobem el valor de $y$

$$y=\sqrt{20^2-x^2} \rightarrow y=\sqrt{20^2-10^2\cdot 2}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}$$

El rombe amb l’àrea més gran serà el que tingui les diagonals igual de llargues, és a dir, el jardí haurà de tindre forma quadrada. en aquest cas, l’àrea serà de $100$ m$^2$.