Càlcul de la Força Mitjana i la Tensió en un Camió i Remolc

Un camió té una massa de $8$ t i arrossega un remolc de $5,5$ t. Si el conjunt està inicialment en repòs, quina força mitjana ha de fer el camió per tal que adquireixi una velocitat de $31$ km/h en un recorregut de $104$ m? Quina és la tensió a què està sotmès l’enganxall entre el camió i el remolc?

Dades:

• $m_1 = 8 \, \text{t} = 8 \times 10^3 \, \text{kg}$ (massa del camió),
• $m_2 = 5,5 \, \text{t} = 5,5 \times 10^3 \, \text{kg}$ (massa del remolc),
• $v_0 = 0 \, \text{m/s}$ (velocitat inicial),
• $v = 31 \, \text{km/h} = \frac{31 \times 1000}{3600} \approx 8,61 \, \text{m/s}$ (velocitat final),
• $\Delta x = 104 \, \text{m}$ (desplaçament).

1. Força mitjana del camió

La força mitjana es pot trobar utilitzant el teorema del treball i l’energia. El treball realitzat per la força mitjana iguala l’augment d’energia cinètica del sistema.

• Massa total del sistema:
  $$m_{\text{total}} = m_1 + m_2 = 8 \times 10^3 + 5,5 \times 10^3 = 13,5 \times 10^3 \, \text{kg}$$
• Energia cinètica final:
  $$K_f = \frac{1}{2} m_{\text{total}} v^2$$
  $$K_f = \frac{1}{2} \cdot 13,5 \times 10^3 \cdot (8,61)^2$$
  $$(8,61)^2 \approx 74,13$$
  $$K_f \approx \frac{1}{2} \cdot 13,5 \times 10^3 \cdot 74,13 \approx 5,0 \times 10^5 \, \text{J}$$
• Energia cinètica inicial: Com que $v_0 = 0$,
  $$K_i = 0$$
• Treball realitzat per la força mitjana:
  $$W = \Delta K = K_f – K_i = 5,0 \times 10^5 \, \text{J}$$
• Força mitjana:
  $$W = F_{\text{mitjana}} \cdot \Delta x \quad \Rightarrow \quad F_{\text{mitjana}} = \frac{W}{\Delta x}$$
  $$F_{\text{mitjana}} = \frac{5,0 \times 10^5}{104} \approx 4808 \, \text{N}$$

Resposta 1: La força mitjana que ha de fer el camió és $F_{\text{mitjana}} \approx 4808 \, \text{N}$.

2. Tensió a l’enganxall

La tensió $T$ a l’enganxall és la força que el camió exerceix sobre el remolc per accelerar-lo. Considerem el remolc com un sistema aïllat:

• Acceleració del sistema: Utilitzem la tercera equació del moviment:
  $$v^2 = v_0^2 + 2 a \Delta x$$
  $$(8,61)^2 = 0 + 2 a (104)$$
  $$74,13 = 208 a$$
  $$a \approx \frac{74,13}{208} \approx 0,356 \, \text{m/s}^2$$
• Força sobre el remolc: La força neta sobre el remolc és només la tensió $T$, ja que no hi ha fregament ni altres forces horitzontals:
  $$T = m_2 a$$
  $$T = 5,5 \times 10^3 \cdot 0,356 \approx 1958 \, \text{N}$$

Resposta 2: La tensió a l’enganxall entre el camió i el remolc és $T \approx 1958 \, \text{N}$.

Respostes finals:

• Força mitjana: $4808 \, \text{N}$,
• Tensió a l’enganxall: $1958 \, \text{N}$.