Càlcul volum tetraedre i equació de pla

Considera els punts $A(1,1,1)$, $B(0,-2,2)$, $C(-1,0,2)$ i $D(2,-1,-2)$. a) Calcula el volum del tetraedre de vèrtexs $A$, $B$, $C$ i $D$. b) Determina l’equació de la recta que passa per $D$ i és perpendicular al pla determinat pels punts $A$, $B$ i $C$.

Considerem els punts donats:
$$A(1,1,1), \quad B(0,-2,2), \quad C(-1,0,2), \quad D(2,-1,-2)$$

a) Càlcul del volum del tetraedre $ABCD$

El volum d’un tetraedre definit pels punts $ A, B, C, D $ es pot calcular com:

$$V = \frac{1}{6} \left| \det \left( \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD} \right) \right|$$

On els vectors es defineixen respecte a un mateix punt de referència (en aquest cas, $ A $):

$$\overrightarrow{AB} = B – A, \quad \overrightarrow{AC} = C – A, \quad \overrightarrow{AD} = D – A$$

2. Càlcul dels vectors

Restem les coordenades de $ A $ a cadascun dels altres punts:

$$\overrightarrow{AB} = (0 – 1, -2 – 1, 2 – 1) = (-1, -3, 1)$$
$$\overrightarrow{AC} = (-1 – 1, 0 – 1, 2 – 1) = (-2, -1, 1)$$
$$\overrightarrow{AD} = (2 – 1, -1 – 1, -2 – 1) = (1, -2, -3)$$

3. Càlcul del determinant dels vectors

$$\det
\begin{bmatrix}
-1 & -3 & 1 \\
-2 & -1 & 1 \\
1 & -2 & -3
\end{bmatrix}$$

El determinant d’una matriu $ 3 \times 3 $ es calcula com:

$$\begin{vmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i\end{vmatrix}a \begin{vmatrix} e & f \\ h & i \end{vmatrix}b \begin{vmatrix} d & f \\ g & i \end{vmatrix}c \begin{vmatrix} d & e \ g & h \end{vmatrix}$$

Substituïm les dades:

$$\begin{vmatrix}
-1 & -3 & 1 \\
-2 & -1 & 1 \\
1 & -2 & -3\end{vmatrix}-1 \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -2 & -3 \end{vmatrix}3 \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix}1 \begin{vmatrix} -2 & -1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix}$$

4. Càlcul dels determinants menors

$$\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -2 & -3 \end{vmatrix}
= (-1)(-3) – (1)(-2) = 3 + 2 = 5$$

$$\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix}
= (-2)(-3) – (1)(1) = 6 – 1 = 5$$

$$\begin{vmatrix} -2 & -1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix}
= (-2)(-2) – (-1)(1) = 4 + 1 = 5$$

5. Substitució i resolució

$$\det
\begin{bmatrix}
-1 & -3 & 1 \\
-2 & -1 & 1 \\
1 & -2 & -3\end{bmatrix}-1(5) + 3(5) + 1(5)$$

$$= -5 + 15 + 5 = 15$$

6. Càlcul del volum

$$V = \frac{1}{6} |15| = \frac{15}{6} = 2.5.$$

Resultat final

El volum del tetraedre és:

$$\mathbf{2.5} \text{ unitats cúbiques}$$

b) Equació de la recta perpendicular al pla $ABC$ passant per $D$

Pas 1: Trobar el vector normal al pla $ABC$

Els vectors $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{AC}$ són:

$$\overrightarrow{AB} = (-1, -3, 1), \quad \overrightarrow{AC} = (-2, -1, 1).$$

El vector normal al pla és el seu producte vectorial:

$$\mathbf{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
-1 & -3 & 1 \\
-2 & -1 & 1
\end{vmatrix}$$

Desenvolupant el determinant:

$$\mathbf{n} = (-2, -1, -5)$$

Pas 2: Equació paramètrica de la recta

La recta que passa per $D(2,-1,-2)$ i té direcció $(-2,-1,-5)$ té equació paramètrica:

$$\begin{cases}
x = 2 – 2t, \\
y = -1 – t, \\
z = -2 – 5t.
\end{cases}$$

Aquesta és l’equació de la recta sol·licitada.