Fons de piscina. Aplicació llei d’Snell

En el fons d’una piscina de $2$ m de profunditat hi ha una llanterna encesa, que emet llum en totes les direccions. La piscina està tapada amb una lona que queda just per sobre de l’aigua i en la lona s’observa un cercle de llum a causa dels raigs refractats. Això es deu a l’existència d’un angle límit, a partir del qual es dona el fenomen de reflexió total. Els rajos que arriben a la superfície amb un angle més gran que l’angle límit són plenament reflectits, i no emergeixen a la superfície. L’índex de refracció de l’aire és $n_0=1$ i de l’aigua és $n_a=1,33$. a) A partir de la llei d’Snell, deduïu l’expressió de l’angle límit. Expresseu el resultat en funció de l’índex de refracció de l’aigua i de l’aire. Justifiqueu si podria donar-se el mateix fenomen si la situació fos la contrària (la llanterna estigués situada $2$ m per sobre la superfície de la piscina i la lona dins de l’aigua just per sota la superfície). b) Calcula el radi del cercle de llum, sabent que l’índex de refracció de l’aigua és $n=1,33$

(a) Expressió de l’angle límit
Segons la llei de Snell:
\begin{equation}
n_a \sin \theta_c = n_0 \sin 90^\circ
\end{equation}

Com que $\sin 90^\circ = 1$, obtenim:
\begin{equation}
\sin \theta_c = \frac{n_0}{n_a}
\end{equation}

Substituint els valors:
\begin{equation}
\theta_c = \arcsin \left( \frac{1}{1.33} \right)
\end{equation}

\begin{equation}
\theta_c \approx \arcsin(0.7519) \approx 48.75^\circ
\end{equation}

Si la llanterna estigués fora de l’aigua i la llum passés de l’aire a l’aigua, la llum es refractaria sempre cap a l’aigua, i no hi hauria reflexió total. Per tant, el fenomen no es podria produir en la situació inversa.

(b) Càlcul del radi del cercle de llum

El cercle de llum es forma perquè els raigs de llum que surten de la llanterna arriben a la superfície amb un angle igual a $\theta_c$, formant un con amb vèrtex a la llanterna. Aplicant trigonometria:

\begin{equation}
\tan \theta_c = \frac{R}{h}
\end{equation}

On $h = 2$ m és la profunditat de la piscina. Despejant $R$:

\begin{equation}
R = h \tan \theta_c
\end{equation}

Substituint els valors:

\begin{equation}
R = 2 \times \tan(48.75^\circ)
\end{equation}

\begin{equation}
R \approx 2 \times 1.14 = 2.28 \text{ m}
\end{equation}

Resposta final: El radi del cercle de llum és $2.28\text{ m}$.