Càlcul distància entre dos plans

Per calcular la distància entre dos plans en l’espai tridimensional, es pot utilitzar la fórmula següent:

$$d = |(Ax1 + By1 + Cz1 – D) / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)|$$

On $A$, $B$ i $C$ són els coeficients de la normal del primer pla, i $D$ és la constant del primer pla. $x_1$, $y-1$ i $z_1$ són les coordenades d’un punt qualsevol d’aquest pla.

Per calcular la distància al segon pla, es fa servir la mateixa fórmula amb els coeficients i la constant del segon pla, i amb les coordenades d’un punt qualsevol d’aquest pla.

Un exemple seria calcular la distància entre els següents plans: $\pi_1: 2x – 3y + z = 5$ i $\pi_2: x + 2y – z = 2$

Per calcular la distància entre aquests dos plans, primer hem de trobar les seves normals. Per al pla $1$, la normal és $(2, -3, 1)$, ja que els coeficients de $x$, $y$ i $z$ són $2$, $-3$ i $1$, respectivament. Per al pla $2$, la normal és $(1, 2, -1)$.

Ara, triem un punt qualsevol de cada pla per a fer el càlcul. Per exemple, podem triar el punt $(1, 1, 2)$ per al pla $1$ i el punt $(0, 1, 0)$ per al pla $2$.

La distància entre els dos plans seria:

$$d = |(2(1) – 3(1) + 1(2) – 5) / sqrt(2^2 + (-3)^2 + 1^2)| = 2 / sqrt(14)$$

$$d = |(1(0) + 2(1) – 1(0) – 2) / sqrt(1^2 + 2^2 + (-1)^2)| = 3 / sqrt(6)$$

Per tant, la distància entre els dos plans seria aproximadament $0.5245$ unitats.