Càlcul distància entre dos plans

Per calcular la distància entre dos plans en l’espai tridimensional, cal considerar la seva posició relativa. La distància entre els dos plans depèn de si són coincidents, secants o paral·lels.

Casos possibles:

1. Plans coincidents o secants:
   • Si els plans són coincidents (és a dir, són el mateix pla) o secants (es tallen en una recta), la distància entre ells és zero. Això es deu a que en aquests casos, no existeix una separació constant entre els plans; o bé es sobreposen, o bé es toquen en una línia.
2. Plans paral·lels:
   • Si els plans són paral·lels, la distància entre ells es calcula prenent un punt qualsevol d’un d’ells i calculant la distància d’aquest punt al segon pla. Aquesta distància és constant per a tots els punts dels dos plans.

Fórmula per calcular la distància entre dos plans paral·lels

Suposem que tenim dos plans paral·lels: $\pi_1: A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0$ $\pi_2: A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0$

Perquè els plans siguin paral·lels, les normals a aquests plans han de ser paral·leles, és a dir, els vectors normals han de ser proporcionals: $(A_1, B_1, C_1) \parallel (A_2, B_2, C_2)$

Així que podem escriure: $A_1 / A_2 = B_1 / B_2 = C_1 / C_2$

La distància entre els dos plans paral·lels es calcula amb la fórmula següent: $$d = \frac{|A_1 x_0 + B_1 y_0 + C_1 z_0 + D_1 – (A_2 x_0 + B_2 y_0 + C_2 z_0 + D_2)|}{\sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$$

On $(x_0, y_0, z_0)$ són les coordenades d’un punt qualsevol del primer pla (per exemple, podem utilitzar un punt fàcil com $(x_0, y_0, z_0) = (0, 0, 0)$ si està sobre el pla, o qualsevol altre punt de la superfície del primer pla).

Exemple:

Considerem els següents dos plans paral·lels: $\pi_1: 2x – 3y + z = 5$ $\pi_2: 2x – 3y + z = 8$

Aquests dos plans són paral·lels perquè tenen la mateixa normal $(2, -3, 1)$. Per calcular la distància entre ells, triem un punt qualsevol del primer pla, per exemple, $(x_0, y_0, z_0) = (0, 0, 5)$, i utilitzem la fórmula de distància entre el punt i el segon pla: $$d = \frac{|2(0) – 3(0) + 1(5) – 8|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2 + 1^2}} = \frac{|5 – 8|}{\sqrt{4 + 9 + 1}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$$

La distància entre aquests dos plans és: d=314≈0.801 unitats.d = \frac{3}{\sqrt{14}} \approx 0.801 \, \text{unitats}.