Poblema sobre distribució normal

Suposem que les notes d’un examen estan distribuïdes normalment amb una mitjana de $75$ i una desviació estàndard de $10$. Quina és la probabilitat que un estudiant escollit a l’atzar tingui una nota superior a $85$?

Per resoldre aquest problema, primer hem de convertir la variable aleatòria (les notes dels estudiants) a la seva forma estandarditzada. La distribució normal estàndard té una mitjana de 0 i una desviació estàndard de 1. Per estandarditzar la variable, restem la mitjana de la variable original i dividim pel valor de la desviació estàndard:

$$Z = \frac{X – \mu}{\sigma} = \frac{85 – 75}{10} = 1$$

Ara que tenim la variable estandarditzada, podem utilitzar una taula de la distribució normal estàndard o una calculadora per trobar la probabilitat que una variable aleatòria segueixi una distribució normal estàndard i estigui per sobre de $Z = 1$. La taula ens dóna la probabilitat $P(Z > 1) = 0.1587$. Així doncs, la probabilitat que un estudiant escollit a l’atzar tingui una nota superior a $85$ és de $0.1587$ o $15.87\%$.