Suposem que tenim una urna amb 10 boles vermelles i 5 boles blaves. Es treuen dues boles sense reposició. Quina és la probabilitat que la segona bola sigui vermella, sabent que la primera bola és blava?

Per resoldre aquest problema, utilitzarem la fórmula de probabilitat condicionada:

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

on $P(A|B)$ és la probabilitat de l’esdeveniment $A$ donada l’ocurrència de l’esdeveniment $B$, $P(A \cap B)$ és la probabilitat de l’ocurrència conjunta de $A$ i $B$, i $P(B)$ és la probabilitat de l’esdeveniment $B$.

En aquest cas, deixem que $A$ sigui l’esdeveniment que la segona bola és vermella i $B$ sigui l’esdeveniment que la primera bola és blava. Aleshores, tenim:

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

La probabilitat de l’ocurrència conjunta de $A$ i $B$ és la probabilitat que la primera bola sigui blava i la segona bola sigui vermella. Sabem que la probabilitat que la primera bola sigui blava és de $\frac{5}{15}$, ja que hi ha 5 boles blaves i 15 boles en total a l’urna. Si la primera bola és blava, només queden 14 boles en l’urna, de les quals 10 són vermelles. Per tant, la probabilitat que la segona bola sigui vermella donada que la primera bola és blava és de $\frac{10}{14}$. Així doncs:

$$P(A \cap B) = \frac{5}{15} \cdot \frac{10}{14} = \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{5}{21}$$

La probabilitat de l’esdeveniment $B$ és simplement la probabilitat que la primera bola sigui blava, que ja hem calculat com a $\frac{5}{15}$. Per tant:

$$P(B) = \frac{5}{15}$$

Substituint això en la fórmula de probabilitat condicionada, obtenim:

$$P(A|B) = \frac{\frac{5}{21}}{\frac{5}{15}} = \frac{1}{3}$$

Per tant, la probabilitat que la segona bola sigui vermella donada que la primera bola és blava és de $\frac{1}{3}$.